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第 2 章模糊聚类分析 §2.1 模糊矩阵 二 模糊矩阵的并、交、余运算性质 三 模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂 四 合成(° )运算的性质 五 模糊矩阵的转置 六 模糊矩阵的? - 截矩阵 §2.2 模糊关系 二 模糊关系的运算 三 模糊关系的矩阵表示 例.某夫妇有一子一女,子女与父母相”像”的关系即为一种模糊关系R,设X={子,女}, Y={父,母},模糊关系由R(子, 父),R(子,母),R(女,父)，R(女,母)来描述 模糊关系矩阵 四 模糊关系的合成 五 模糊关系合成运算的性质 §2.3 模糊等价矩阵 二 模糊等价矩阵的基本定理 三 模糊相似关系 四 模糊相似矩阵的性质 §2.4 模糊聚类分析 在科学技术、经济管理中常常需要按一定 标准(相似程度或亲疏关系)进行分类. 例如 ,根据生物的某些形状可对生物进行分类， 根据土壤的性质可对土壤分类,根据市民生活水平 受教育水平、公共服务实施、生产力对城市按等 级分类 对所研究的事物按一定标准进行分类的数学 方法称为聚类分析,它是多元统计”物以类聚”的一 种分类方法 由于科学技术、经济管理中分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法. 模糊聚类法一般步骤 在实际问题中,不同的数据一般有不同的 量纲,为了使不同量纲也能进行比较,通常要 对数据作适当的变换,使之变换到[0,1]区间上. 1. 平移 ? 标准差变换 第二步 标定(模糊相似矩阵建立方法) 2. 相关系数法 3.距离法 第三步 聚类(利用模糊相似矩阵进行分类) (1)传递闭包法求得模糊相似矩阵R(不一定等价) 求闭包等价矩阵 进行分类 (2)直接聚类法 (3)最大树法、编网法 (略)详细参考有关资料 《模糊数学方法及其应用》谢季坚，刘承平 华中科技大学出版社 第四步 最佳分类的确定 rij = 1 – c * d (xi, xj ) 其中c为适当选取的参数,使0=rij=1 . 海明距离 欧氏距离 切比雪夫距离 d (xi, xj ) = ∨{ | xik- xjk | , 1≤k≤m} * * 定义1 设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵. 定义2 设A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩阵， 相等：A = B ? aij = bij； 包含：A≤B ? aij≤bij； 并：A∪B = (aij∨bij)m×n； 交：A∩B = (aij∧bij)m×n； 余：Ac = (1- aij)m×n. 幂等律：A∪A = A，A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C )∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C )∩(B∪C)； 0-1律： A∪O = A，A∩O = O； A∪E = E，A∩E = A； 还原律：(Ac)c = A； 对偶律： (A∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪Bc. 定义4 设A = (aik)m×s，B = (bkj)s×n，定义模糊矩阵A 与B 的合成为： A ° B = (cij)m×n， 其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} . 模糊方阵的幂 定义4 若A为 n 阶方阵，定义A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A. 性质1：(A ° B) ° C = A ° (B ° C)； 性质2：Ak ° Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质3：A ° ( B∪C ) = ( A ° B )∪( A ° C )； ( B∪C ) ° A = ( B ° A )∪( C ° A )； 性质4：O ° A = A ° O = O，I ° A=A ° I =A； 性质5：A≤B，C≤D ? A ° C ≤B ° D. 注：合成(° )运算关于(∩)的分配律不成立，即 ( A∩B ) ° C ? ( A ° C )∩( B ° C ) ( A∩B ) ° C ( A ° C )∩( B ° C ) ( A∩B ) ° C ? ( A ° C )∩( B ° C ) 定义5 设A = (aij)m×n, 称AT = (aijT )n×m为A的转置矩阵，其中aijT =