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数学哲学与数学史 第四讲 文艺复兴时期的数学 中世纪的欧洲时代背景 公元476年，西罗马帝国在各种蛮族的猛攻下灭亡。 在旧帝国的不同部分不久便形成了一些封建社会，这意味着欧洲各民族国家的长期发展过程的肇始。然而，在随后五个世纪中，欧洲文化的总体水平很低。 商品经济的发展为政教分离和宗教改革奠定了基础。 中世纪的欧洲时代背景 西罗马帝国灭亡后至文艺复兴以前的时代被称为“中世纪”。此时，欧洲各地的封建政权利用教会势力和宗教垄断社会文化，这一时期（公元5－11世纪）被史学家称为“最黑暗的时期”。 天主教会成为欧洲社会的绝对势力。封建宗教统治，使一般人笃信天国，追求来世，从而淡漠世俗生活，对自然不感兴趣。教会宣扬天启真理，并拥有解释这种真理的绝对权威，导致了理性的压抑，欧洲文明在整个中世纪处于凝滞状态。 中世纪的欧洲数学成就 不过因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的算术和几何教材。 罗马人博埃齐根据希腊材料用拉丁文选编了《几何》、《算术》等教科书，《几何》内容仅包含《几何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命题，以及一些简单的测量术；《算术》则是根据400年前尼科马科斯的一本浅易的著作编写的。 中世纪的欧洲数学成就 古代学术传播西欧的线路图 中世纪的欧洲数学成就 欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是斐波那契(1170-1250)。 代表作《算经》，内容涉及整数和分数算法，开方法，二次和三次方程以及不定方程。特别是，书中系统介绍了印度－阿拉伯数码，对改变欧洲数学的面貌产生了很大影响。 中世纪的欧洲数学成就 1228年的《算经》修订版还载有如下“兔子问题”： 某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？ 中世纪的欧洲数学成就 欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到15世纪中叶，教会的经院哲学派利用重新传入的希腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。 欧洲数学真正的复苏，要到15、16世纪。在文艺复兴的高潮中，数学的发展与科学的革新紧密结合在一起，数学在认识自然和探索真理方面的意义被文艺复兴的代表人物高度强调。 向近代数学的过渡代数学 欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。 主要包括三、四次方程求解与符号代数的引入两个方面。 向近代数学的过渡代数学 帕乔利在1494年指出，对一般的三次方程还没有得到代数解，但整个15世纪和16世纪早期，许多数学家都在探索这个问题。 向近代数学的过渡代数学 向近代数学的过渡代数学 波伦比亚大学的数学教授费罗(1465-1526)在1515年发现了形如 的三次方程的代数解法。 1535年意大利另一位数学家塔塔利亚(1499?-1557)宣称自己可以解形如 两类型的所有三次方程 向近代数学的过渡代数学 向近代数学的过渡代数学 向近代数学的过渡代数学 在法国，数学家韦达(1540-1603)写了《分析引论》、《论方程的整理与修正》与《有效的数值解法》等方程论著作，其中包括给出代数方程的近似解法与代数方程的多项式分解因式解法 。 向近代数学的过渡代数学 代数学上的进步还在于引用了较好的符号体系，这对于代数学本身的发展以及分析学的发展来说，至关重要。正是由于符号化体系的建立，才使代数有可能成为一门科学。 向近代数学的过渡代数学 数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达，由于他的符号体系的引入导致代数性质上产生重大变革。 在《分析引论》中，他第一次有意识地使用系统的代数字母和符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量。他把符号性代数称为“类的算术”，同时规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算施行于具体的数。 向近代数学的过渡代数学 对韦达所使用的代数符号的改进工作是由笛卡儿完成的，他首先用拉丁字母的前几个(a，b，c，d，…)表示已知量，后几个(x，y，z，w， …)表示未知量，成为今天的习惯。 到17世纪末，欧洲数学家已普遍认识到，数学中可以使用符号具有很好的效果。并且使数学问题具有一般性。不过当时随意引入的符号太多，今天所使用的符号，实际使这些符号经过长期淘汰后剩下的。 向近代数学的过渡三角学 “三角学”，英文trigonometry，来自拉丁文trigonometria。在古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的学科，而是依附于天文学。 最早使用trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯，德国人，1595年出版《三角学：解三角形的简明处理》