第四节特征值与特征向量.pptVIP

* §4 特征值与特征向量 一、线性变换的特征值与特征向量 1. 背景知识 3、特征值与特征向量的求法 求线性变换特征值、特征向量步骤： 二、矩阵的特征值与特征向量 对于有限维线性空间而言，它的线性变换与矩阵有着密切的联系，L(V)是抽象的空间，P是具体的空间，为了把握线性变换的性质，可以利用矩阵，即利用矩阵研究线性变换，由于同一线性变换在两个基下的矩阵是相似的，而矩阵越简单，使用越方便．自然要问：如何选取V的基，使得线性变换/A关于这组基的矩阵尽可能简单？ 例2　设线性变换/A在基ε,ε,下的矩阵是 A= 求/A的特征值与特征向量？ 课堂练习 在R中，，ε=(1,0), ε=(0,1)和η=(1,1), η=(1,2)为R 的两组基，求/A在这两组基下的矩阵？ /A(ε,ε)=(ε,ε) /A(η,η)=(η,η) 2线性变换的特征值和特征向量 定义5　设/AL(V),P，若V，使得/A()=，那么称为/A的特征值, 称为/A 的属于特征值的一个特征向量。 注意： 1）一个特征值可有多个特征向量，特征向量不是被特征值唯一确定的； 2）令=，则是V的一个子空间。 称为/A的与特征值对应的特征子空间； 3）一个特征向量只能属于一个特征值，特征值是被特征向量唯一确定的。 定义6　设A，是一个文字，则称为A的特征多项式，记作()，即()=。 命题：设V是数域P上n维线性空间，为V的一组基，，且 　　/A()=()A 则是/A的特征值的充分必要条件是中的根． 例3　在中，求/D的特征值与特征向量？ 例4 I表示中将每个向量绕原点逆时针旋转角的旋转变换， 求I的特征值与特征向量． （1）在线性空间V中取一组基，写出/A在这组基下的矩阵A； （2）求出A的特征多项式在数域P中全部的根，它们也就是线性变 换/A的全部特征值； 4　矩阵特征多项式的性质 定理6相似的矩阵有相同的特征多项式。 设，的特征多项式在复数域中的根叫做矩阵A 的特征值。设是A的一个特征值，那么齐次线性方程组的非零解叫做A的属于特征值的特征向量． 注：1）任何矩阵都有特征值和特征向量； n阶矩阵有n个特征值(重根按重数计算) 3）矩阵A的迹等于A的全部特征值之和．矩阵A的行列式等于A的全部特征值的乘积． 例5求矩阵的特征值和特征向量？ 解： A的特征值为对应的特征向量为其中 不同时为零,与对应的特征向量为不为零． 对角矩阵是一类特殊的矩阵，对给定的线性变换/A能否有V的一组基使得/A在这组基下的矩阵是对角阵？ （3）把所求得的特征值逐个地代入方程组，对于每一个特征值，解此方程组，求出一组基础解系，它们就是属于这个特征值的n个线性无关的特征向量在基下的坐标，这样，也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量． 在中，规定 其中，求/A的特征值与特征向量？ 注：1）定理6的逆命题不成立，即有相同特征多项式的矩阵未必相似； 2）线性变换/A在任一基下的矩阵A 的特征多项式称为/A的特征多项式, 记作：； 3）设； 4）设在复数域中的全部根，重根按重数计算，则 ，。 5）哈密尔顿——凯莱定理：设，。 推论：设，则。 2）线性变换的特征值，特征向量与矩阵特征值，特征向量的关系： 设，是V的一个基，/A关于这个基的矩阵为A，则A在P中的特征值，就是/A的特征值，而A的属于的特征向量就是/A的属于的特征向量关于基的坐标；