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第四章 统计量与抽样分布 4.1 总体和样本的统计分布 1.总体分布和样本性质 总体 —— 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X . 4.3 抽样分布 2.抽样分布定理 * * 即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 表示. 样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 称 为总体 X 的一个容量为n的样本观测值,或称样本的一个实现. 用 表示, n 为样本容量. 样本空间 —— 样本所有可能取值的集合. 若总体 X 的样本 满足: 一般,对有限总体,放回抽样所得到的样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不放回抽样代替. (1) 与X 有相同的分布 (2) 相互独立 则称 为简单随机样本. 简单随机样本 设总体 X 的分布函数为F (x),则样本 若总体X 的密 d.f.为 f( x),则样本 的联合 d.f.为 的联合分布函数为 例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数为M, 其次品率为 若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它. X 服从参数为p 的0-1分布,可用如下表示 方法: 从这批产品中任取一个产品,用随机变量 X来描述它是否是次品: 设有放回地抽取一个容量为 n 的样本 的联合分布为 其样本值为 样本空间为 设 是取自总体X 的一个样本, 为一实值连续函数,且不含有未知参数, 则称随机变量 为统计量. 若 是一个样本值, 称 的一个样本值 为统计量 定义 4.2 统计量 例 是未知参数, 若 ? ,? 已知,则为统计量 是一样本, 是统计量, 其中 则 但 不是统计量. 常用的统计量 为样本均值 为样本方差 为样本标准差 设 是来自总体 X 的容量 为 n 的样本,称统计量 为样本的k 阶原点矩 为样本的k 阶中心矩 例如 顺序统计量 设 为样本, 为样本值,且 当 取值为 时, 定义 r.v. 则称统计量 为顺序统计量. 其中, 称 为极差 独立,与总体同分布 独立,与 同分布 由辛钦大数定律知 都存在 设 为来自总体 的样本,总体 阶矩 其中 为连续函数 设总体 的均值和方差 是来自总体 的样本，则 都存在. 是全体实验数据 的平均值 是数据 的中心 反映了实验数据 与数据中心的偏离程度，反映了全体实验数据 的离散程度 包含了各种有用信息 集中、提炼数据中包含的有用信息 它们是随机变量,必须确定其分布，称为抽样分布 来自标准正态总体的抽样分布 来自一般正态总体的抽样分布 分布 分布 分布 五个抽样分布定理 随着自由度的增加曲线重心向右下方移动 是来自总体 设 的样本,令 称 服从自由度为 的 分布，记为 且 相互独立, 则 设 且 设 相互独立, 则 ,于是 理解为可独立变化的r.v个数 则 设 取 个独立同分布 的 则 与 同分布 随着自由度的增加曲线越来越趋近 且 设 相互独立,令 称 服从自由度为 的 分布，记为 易知： 利用伽马函数的斯特林公式 即 故当 较大时,可认为 英国统计学家兼化学家戈塞特 (Gosset W S 1876-1937 )于1908年用笔名Student 发表了关于 t 分布的论文,这是一篇在统计学发展史上划时代的文章,它创立了小样本代替大样本的方法，开创了现代统计学的新纪元. Gosset, Student 的最后一个字母都是t ,故取名为“t 分布”,又称为“学生氏分布”. 且 设 相互独立,令 称 服从自由度为 的 分布，记为 若 则 分布是为了纪念著名统计学家 费歇耳(R.A.Fisher 1890-1962)而命名 如何由样本 推断 对 的推断是通过构造统计量实现的 如何构造“好”的统计量 服从什么分布？ 统计推断中最重要的结论： 仍服从正态分布 ,且 的样 设 是来自总体 本,则 独立同分布 由正态分布的性质知，线性组合 的样本， 设 是总体 分别为样本均值和样本方差，则有 相互独立 的样本