第四章矩阵的特征值总19.pptVIP

1.相似矩阵及其性质 (其中 k 是正整数) (3)若A~B , (1)传递性:若A~B，B~C,则A~C 是关于A 的多项式, (4)相似矩阵有相同的特征多项式和相同的特征值. (5) 相似矩阵有相同的秩. (6)相似矩阵的行列式相等. (7)相似矩阵或都可逆,或都不可逆; 当它们可逆时,它们的逆也相似. 复习 2. n阶矩阵与对角矩阵相似的条件 (2) 如果n 阶矩阵A 的n 个特征根互不相同,则A 与对角矩阵相似. 3. 化n阶矩阵为对角矩阵的步骤 向量的内积 正交向量组 正交矩阵 第三节 实对称矩阵的特征值 和特征向量（一） 一、向量的内积及其性质 定义4.5 注意 （1）按矩阵乘法有： （2）内积就是几何向量的数量积之推广。 内积具有下列运算性质： （线性性） （对称性） （正定性） 定义4.6 （或模,或范数） 二、向量的长度（范数） 例如 4维向量 的长度为： 为单位向量 而向量 向量的长度有下述性质： (1)非负性： (3)三角不等式： (2)齐次性： (4)柯西-布涅柯夫斯基不等式: 式中的等号仅当向量 线性相关时才成立. 三、正交向量组 定义4.7 例1.零向量与任意向量正交. 定义4.8 左乘上式两端，得 类似可证 证明 线性无关。 于是 中 的正交向量组必线性无关 定理4.9 无关向量组未必是正交向量组. 注意 四、施密特正交化方法 设n阶实矩阵,满足 QTQ=I, 则称Q为正交矩阵. 五、正交矩阵 定义4.9 正交矩阵的性质 (1)若Q为正交矩阵,则其行列式的值为1或-1; (2)若Q为正交矩阵,则Q可逆,且Q-1=QT; (3)若P、Q为正交矩阵,则它们的积PQ也是 正交矩阵. 设Q为n阶实矩阵，则Q为正交矩阵 Q的列(行)向量组是单位正交向量组. 定理4.10 单位正交向量组也称标准正交向量组