模板向量组的线性相关性与线性方程组.pptVIP

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2017-05-22 发布于上海
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模板向量组的线性相关性与线性方程组.ppt

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模板向量组的线性相关性与线性方程组

那么, A中有r1个行向量线性无关,由引理2,A中有一个r1级子式D不为零,那么A中子式D所在的r1个列向量也线性无关;因而, 。定理10 矩阵的行秩等于列秩。由此, A的列秩(A的行秩r1)? A的行秩(A的列秩r2),即有。证设矩阵A的行秩为r1,A的列秩为r2。统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩,矩阵A的秩一般记为R(A)。规定零矩阵的秩为0。返回上一页下一页定理11 矩阵A的秩为r的充要条件是它有一个不为零的r阶子式而所有r+1阶子式全为零,这时,这个非零的r级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列向量组的极大线性无关组。返回上一页下一页 §5 矩阵的初等变换矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是同类的初等行变换。定义12 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对换矩阵两行的位置 [对换第i行和第j行的位置记为r(i,j)]. (2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数 [第i行乘以k记为r(i(k)] (3)把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去[第i行的k倍加到第j行上去记为r(j+i(k))] 返回上一页下一页定理12 如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A的行向量组与B的行向量组等价,而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性关系。例求下列向量组的一个极大线性无关组与秩。解作返回上一页下一页所以为一个极大无关组，且秩等于3。定义：行阶梯形，行最简形，等价标准型返回上一页下一页上例中，最后化得的矩阵称为行阶梯形矩阵，其特点是：１）若有零行，则零行全部在矩阵的下方。２）从第一行起。每一行第一个非零元前面的零的个数逐行增加。对于这样的矩阵，可画出一条阶梯线，线的下方全为０，每个台阶只有一行，台阶数就是非零行数。返回上一页下一页事实上，对行阶梯形矩阵，它的秩就是非零行的个数。例　用初等变换求矩阵A的秩。返回上一页下一页因为行阶梯行矩阵B1有３个非零行，所以R(A)=３。如果继续施行初等变换，还可以化为更简单的形式。行阶梯形矩阵B2的特点是，非零行的第一个非零为１，且１所在的其他元素都为０，这样的矩阵为行最简形矩阵。返回上一页下一页若在经过列初等变换，还可以化为更简单的形式。矩阵B3称为A的标准形，其特点是：B3左上角是　单位矩阵。返回上一页下一页由上面讨论可知，对于m×n矩阵A，总可以经过初等变换，把它化为标准形，标准形的特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素全为０。例定义13 如果矩阵A经有限次初等变换化成B，就称矩阵A与B等价。返回上一页下一页矩阵的等价关系具有下列性质： (1)反身性：A与A等价。 (2)对称性：如果A与B等价，那么B与A等价。 (3)传递性：如果A与B等价， B与C等价，那么A与C等价。定理13 如果矩阵A与B等价，那么R(A)＝R(B) 。定理14 每个矩阵都有等价标准形，矩阵A与B等价，当且仅当它们有相同的等价标准形。推论两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。返回上一页下一页 §6 初等变换与求矩阵的逆定义14 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是方阵，互换E的第i行与第j行（或者互换E的第i列与第j列）的位置，得 , 第（i）行 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 O L M O M L O = M M L L 第（j）行 E (i ,j) 返回上一页下一页用常数k乘E的第i行（或i列），得把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得返回上一页下一页这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有 E(i,j)-1＝E(i,j) E(i(k))-1=E(i(1/k)), E(i+j(k))-1=E(i+j(-k)) 定理15 对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。 detE(i,j)＝-1 detE(i(k))=i detE(i+j(k))=1 返回上一页下一页推论1 矩阵A与B等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，…，Ps，Q1，…，Qt使 A＝P1P2…PsBQ1…Qt 推论2 n×n矩阵A可逆的充分必要条件它能表成一些初等矩阵的乘积。