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第六章?基于数据的建模方法 6.1 数据的收集与整理 * * 建立数学模型是为了利用它有效地分析、 解决现实问题, 真实世界的背景不容忽视. 通过观察、测量等手段收集的数据来自于现实世界, 带有我们关注的研究对象的大量信息. 数据作用于模型的形式： 建立数学模型的初始研究阶段,对数据的分析有助于寻求变量间的关系； 部分模型完全建立 在数据的基础上. 如数据拟合 以及经验模型 2.利用数据来估计模型中出现的参数值, 称 为模型参数估计. 3.利用数据进行模型检验，通常用实际数据 与模型运算出的相应理论值进行比较. 数据是建立数学模型的重要依据！ 各种类型的数据为我们认识事物的内在规律、研 究事物之间的关系、预测事物今后的可能发展等一 系列问题, 提供了丰富的材料和科学依据. 如何收集、整理和分析数据，挖掘有用结果？ 着手建立模型时, 关于数据需考虑以下问题： 1. 需要哪些以及何种形式的数据？ 2.如何去获得数据？ 怎样表达数据？ 3. 如何对数据进行整理、分析？ 获取方式 图书馆文件检索 网上资料检索 询问相关部门人员 试验、观察并记录 例6.1.1开水房拥挤成因分析数据采集 有人想分析出一所大学开水房拥挤的原因, 并提出解决方案. 在连续一周的中午11:40～12:20进行实地观 测,得到开水房人到达情况的数据 表6.1 每10秒到达人数及相应频数 3 4 10 22 50 110 131 132 66 频数 8 7 6 5 4 3 2 1 0 人数 猜测可能是管道阻塞造成拥挤,记录下两组 数据,用于比较分析. 表6.2 管道通畅时顾客打水时间及相应频数 4 9 3 1 2 2 3 2 1 频数 70 65 60 55 50 45 40 35 30 打水时间 2 2 4 2 5 3 5 频数 125 105 95 90 85 80 75 打水时间 表6.2 管道阻塞时顾客打水时间及相应频数 4 1 1 1 4 3 2 3 3 频数 95 90 85 80 75 70 65 55 45 打水时间 1 1 2 1 1 2 3 1 1 频数 300 240 205 175 160 135 130 125 100 打水时间 *需要什么形式的数据, 与建模目的和所选择的模型的特点有关. 分析数据就初步可找到开水房拥挤的原因. 例6.1.2 渡口模型数据性质 船主收集到的有一组数据是:需要摆渡的车辆中“平均40％的车为轿车,55％的车为卡车,5％的车为摩托车.” *收集数据并非多多益善 ,要善于剔除冗余数据. 平均值更具有代表性,更如实地反映了渡口 的实际情况 其中“平均”两字至关重要,因一次摆渡 各类车所占百分比是无意义的. 需做较多次数的观察得到一大批数据,并求 相应的平均值得到上述数据. 用数学模型描述现实问题,模型中参数的估计、模型的求解以及模型的合理性很大程度取决于数据的准确可信. 实验数据中总存在实验误差 在建模工作的各个环节,实验数据误差都可能造成失之毫厘, 谬之千里的失误. 实 验 误 差 随机误差 系统误差 过失误差 由一系列偶然因素引起的 一类不易控制的测量误差. 实验观察过程中服从确定性 规律的误差. 明显歪曲实验结果的误差. 无法避免, 可增加试验次数, 取算术平均 来减小. 不能通过增加实验次数求算术平均值来消除. 可用一定方法识别、消除. 可以识别、并加以处理. * 在实验数据中, 三类实验误差常常同时 错综复杂的存在着. 控制实验数据的质量 整理实验数据 消除实验误差 重要工作 方法： 1. 用统计检验方法检验出异常数据； 参见电子科大《概率论与数理统计》p192 “统计数据中异常值的检验”. 3. 根据经验和实际背景知识做出实验数据的检查修正, 异常数据的舍弃处理. 2. 尽可能寻找产生异常点的技术上或物理上的原因, 作为处理异常值的依据. 例6.1.3 施肥效果分析 某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、钾(K)、磷(P).某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验,实验数据如下列表所示,其中ha表示公顷, t表示吨，kg表示公斤.当一个营养素的施肥量变化时,总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上,如对土豆产量关于 N的施肥量做实验时,P与 K的施肥量分别取为 196kg／ha与372kg／ha. 试分析施肥量与产量之间关系,并对所得 结果从应用价值与如何改进等方面做出估 价. 30