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* 一百馒头一百僧 ，大和三个更无争 答曰：大和尚二十五人，分得馒头七十五个；小和尚七十五人，分得馒头二十五个 小和三人分一个 ，大和小和得几丁 这是我国家喻户晓的一道名题，通常作为小学训练思维的心算题。 译文：今有大小和尚共100人，分食100个馒头。已知大和尚一人分三个， 小和尚3人分一个问大小和尚各有多少人？他们分别分到多少个馒头？ 解法1：（中古算法） 大和尚1人 分馒头3个 小和尚3人 分馒头1个 分馒头3个 合计 和尚4人 馒头4个 从给定的条件看来，4个和尚分4个馒头，它们的结构比例是：大和尚﹕小和尚=1 ﹕3，并且，大和尚分的馒头数﹕小和尚分的馒头数=3 ﹕1，现在已知100个和尚分100个馒头，按此比例，很容易求得 大和尚 100÷（3+1）=25（人） 小和尚 100 ÷4×3=75（人） 大和尚分得馒头 25×3=75（个） 小和尚分得馒头 75 ÷3=25（个） 解法2 列方程解应用题 设大和尚有x人，小和尚有y人，则 消去y求得 X=25 ｛ y=75 ｛ x+y=100 ｛ 3X=75 例1.今有粟一斗，欲为粝米，问得几何？ 选自《九章算术》 术曰：以粟求粝米，三之，五而一。 答曰：为粝米六升。 本题的意思是根据粟米之法所列的比率，问一斗谷子能换多少糙米？ 解：由粟米之法知 谷子︰糙米=50 ︰30 设所求数为x，则 50 ︰30=1 ︰x 即5 ︰3=1 ︰x 古人把这种计算方法叫做“今有术”，四项比例中的各项均有专门名词，即 所有率 ︰ 所求率 = 所有数 ︰ 所求数 （粟率50） （糙米30） （今有粟1斗） （所求数x） 根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积，有 所有率×所求数=所求率×所有数 所以 所求数=（所有数×所求率）/所有率 术文曰：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。”上式就是这个关系的解析表达式 “今有术”实际上就是初中所学的正比例关系y=kx，通过给定所有率和所求率的数据，确定比例系数k，再由所有数求所求数 例2.今有粟四斗五升，欲为凿米，问能换得精米多少升？ 解：由粟米之法知道，“粟率五十，凿米二十四”，设所求数x，则由 所有率︰所求率=所有数︰所求数 50︰24=45︰x 所以 “今有术”虽然简单，但刘徽却十分看重这个方法，认为它是一种解题的通法，许多问题可以以此为基础，转化为比例问题用“今有术”求解。 （升） 例3.今有出钱一万三千五百，买竹二千三百五十个，问个几何？ 答曰：一个五钱四十七分之三十五 选自《九章算术》 解：今有13500钱，买竹2350根，问每根竹子多少钱？ 这是一个简单的用除法求物品单价的问题，刘徽也把它归结为今有术之类，认为：“按今有之义，一枚为所有数，出钱为所求率，而今有之，即得所求数。” 这样，求单价的问题，也表示成四项比例的问题，即 2350︰13500=1︰x 所以 这也体现了刘徽的化归思想和当今的“以法统题，多题一法”的思想是一致的。 (钱） 答案 例4.今有兔先行一百步，犬追之二百五十步，不及三十不止，问犬不止，复行几何步及之？ 答曰：一百七步七分步之一 选自《九章算术》 解：依题意作如下示意图 犬 兔 犬 兔 30 250步 100步 答案 *