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如何建立数学模型 一、数学模型解决问题的五个步骤 二、简单的例子 一、数学模型解决问题的五个步骤 1、提出问题 2、选择建模方法 3、推导模型的数学表达式 4、求解模型 5、回答问题 [1]（新西兰）Mark M. Meerschaert著《数学建模 方法与分析》 1、提出问题 将实际问题用数学语言表述 “提出问题”意味着： 这一步主要完成三个任务： （1）列出实际问题所涉及到的变量； （2）写出关于这些变量所做的假设，列出已知的或 假设的这些变量之间的关系式，包括等式和不等式； （3）用明确的数学语言写出问题的目标的表达式。 变量 首先列出已有的变量： 其次，我们要根据表述实际问题（表述问题的目标、列出变量之间的关系）的需要，自行引入一些新的变量。 目标 用给定的资金 ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 为了表述目标，引入新的变量： 目标的数学表述： 找出 ， 使得 尽可能大， 同时 尽可能小。 假设 主要是列出变量之间的关系式 为了列出已有变量之间的关系式，引入新的变量： 则变量之间有如下的关系式： 2、选择建模方法 我们已经将实际问题表述为一个数学问题。 这一步，需要选择适当的数学方法用于解决问题。 显然，这时你了解的数学方法越多，选择的面也越广，也越有助于找出适当的数学方法。 一般地，这一步的成功，需要经验、技巧和对 相关文献有一定的熟悉程度。 问题是否可以表示成一个已有有效的一般求解方法的问题的标准形式？ ● 如果可以，那么直接选择已有的方法， 建立模型并进行求解。 ● 如果不可以，那么需要对已有的方法或模型 进行改造，使之可以用来解决现在的问题。 或者干脆自己创造新的方法来解决问题!!! 继续考虑例1 问题的数学表述为： 这可以被看作是一个双目标优化的数学问题 从而我们可以选择运筹学中与多目标优化相关的方法来解决这个问题。 3、推导模型的数学表达式 在这一步，我们需要把第一步中所得到的数学问题 应用于第2步，将问题写成所选择的数学方法需要 的标准形式。 继续考虑例1，对应的双目标优化的标准表述形式为： 这样，就完成了例1的建立模型的过程。 4、求解模型 5、回答问题 剩下的两个步骤： 这两个步骤对模型的完成都极为重要，必不可少。 但我们现在的目的是通过实例说明如何建立数学 模型，对这两个不作为重点。 根据第2步中选定的方法，进行数学推导或（利用 计算机）进行计算，对建立的模型进行求解。 根据第4步的结果，对实际的问题作出解答。 二、简单的例子 两辆铁路平板车的装载问题： 变量 这个题目比较简单，已经给出的全部都是常量： 目标 将货箱装到两辆平板车上，使浪费的空间最小 为了表述目标，引入新的变量： 目标的数学表述： 假设 主要是列出变量之间的关系式 由实际问题知，变量之间有如下的关系式： 第二步：本题是一个整数线性规划问题 第三步：写出整数线性规划问题的标准形式 在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘, 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生 碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下: 1) 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里; 2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度; 3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里; 4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应在60公里以上; 例3、一个飞行管理问题 5) 最多需考虑6架飞机; 6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的坐标为(0,0)，(160,0)，(160,160)，(0,160)。 飞机编号 横坐标x 纵坐标y 方向角(度) 1 150 140 243 2 85 85 236 3 150 155 220.5 4 145 50 159 5 130 150 230 新进入 0 0 52 注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。 变量 这个题目比较简单，已经给出的全部都是常量： 目标