解析几何解题技巧之“垂径定理”.pdf

解析几何解题技巧之“垂径定理” 2015年2月25日 意琦行 数海拾贝         我们都知道垂径定理是圆的重要性质，其内容为： 已知圆中有一条非直径的弦，那么这条弦垂直于过其中点的 直径．         对于椭圆也有类似的性质，我们称之为椭圆的“垂径定理”，描 述如下： 2 2 x y 已知不过原点O 的直线与椭圆 + = 1 交于A 、B 两点，M a2 b2 为弦AB 的中点，则直线AB 与直线OM 的斜率之积 b2 kAB ⋅ kOM = − . 2 a 注一    当 a = b = r 时，椭圆的垂径定理描述的内容即为圆的垂径定 理； 注二    这里并不要求 ，也就是说此结论对焦点在 轴和焦点在 a b x y 轴上的椭圆均适用； 2 2 注三    双曲线 x − y = 1 的垂径定理中的斜率之积 a2 b2 b2 kAB ⋅ kOM = . 2 a          点差法是证明这一性质的最好方法： 设 A (x , y ) ， B (x , y ) ，则 1 1 2 2 2 2 2 2 x1 y1 + = 1 a2 b2 2 2 x2 y2 + = 1 a2 b2 两式相减，有 2 2 2 2 x1 − x2 y1 − y2 a2 + b2 = 0, 2 2 两边同时除以 x1 − x2 ，并化简可得 2 2 2 y1 − y2 b 2 2 = − 2 , x − x a 1