2016-2017 微积分第一学期期末复习要点.pdf

微积分第一学期期末复习要点 （2016.12） 重要的概念、理论和方法归纳如下 一、 极限 1. 极限的定义（以直观定义为基本要求）： lim f (x ) ，lim f (x ) ，lim f (x ) ， lim f (x ) ，lim an . x c x c x c x  n ( ) sin x 1 2. 两个重要极限lim 1和lim (1x)x e . x 0 x x 0 3. 极限的基本运算法则Thm 2.3A （注意条件！） 4. 夹逼准则 Thm2.3D 5. 极限不存在的一类重要情况：无穷大. 无穷远处的极限与图形的水平渐近线; 无穷大与图形的铅直渐近线. 6. 极限的求法. (要求掌握) 以洛必达法则为基本方法，以各类未定式的极限为主要对象, 结合极限 的基本运算法则, 两个重要极限以及连续函数在连续点处的极限。注意有积 分限函数参与的未定式极限问题。 二、 连续 1. 定义：lim y 0 或lim f (x ) f (c ) x 0 x c （用条件: lim f (x ) lim f (x ) f (c ) 判断分段函数在分段点处的连   x c x c 续性）. 2. 可去间断点的判别及例子. 特别注意分母为零的点及分段函数的分段点。 3. 连续与可导（可微）、可积的关系： 可导（可微） 连续 可积（反之不真）。   4. 闭区间上连续函数的性质（特别注意零点定理和最值存在定理）. 三、 导数 1. 导数的定义、几何意义、物理意义及性质和记号.  f (x h ) f (x ) y f (x ) lim lim h0 h x0 x . 2. 导数的计算(要求熟练掌握) (1) 基本求导公式. (2) 求导法则：和差积商求导法则、复合函数求导法、对数求导法. (3) 不同类型函数的求导法： I) 显函数求导； II) 隐函数求导； III) 幂指函数求导； IV) 累积（积分限）函数求导（微分学与积分学的重要结合点之一）。 3. 微分的定义, 几何意义(线性近似). 一些常用的微分公式. y d y f  (x )d x . 四、 导数的应用 (重点) （1）理论基础：微分中值定理（重点：Rolle, Lagrange ） （2 ）应用导数解决的一些基本问题： I) 切线斜率、切线和法线方程；  II) 求未定式的极限（L Hospital 法则）； III) 讨论单调性，进而用于求函数的极值、最大最小值、(极值的充 分条件和必要条件), 证明不等式； IV) 讨论曲线的凹向及求拐点； V) 相关变化率；