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一元函数积分学导学及解答
第3 章 一元函数积分学 导学解答
3.1 不定积分
3.1.1 原函数与不定积分的概念 3.1.2 不定积分的性质 3.1.3 基本积分表
一、相关问题
1.已知物体的运动速度函数v v(t) ,如何求其运动方程s s(t) ,还需要什么条件可以唯
一确定运动方程? (解答:略,见教材)
2.已知曲线 在点 处的切线斜率为 2 ,且此曲线与 轴的交
y f (x ) (x, f (x )) sec x sin x y
点为(0,5) ,求此曲线方程。
dy 2
解: sec x sin x,
dx
2 tan x cos x C,
y sec x sinx dx
y (0) 5, C 6, 所求曲线方程为y tan x cosx 6.
二、有关知识
1.什么是原函数?不同原函数之间有什么关系?
答:设 是定义在区间 上的函数,若存在函数 ,使得对任意x I 均有
f (x ) I F (x) F (x) f (x)
或 dF(x) f (x)dx 则称函数F (x) 为f (x ) 在区间 I 上的一个原函数,简单地说成“F (x) 是
f (x ) 的原函数”.一个可微函数的导数都是唯一的.但是,当一个函数具有原函数时,它的
原函数不唯一,一个函数的不同原函数之间只相差一个常数.
2.不定积分与原函数有什么关系?
答:在区间I 内的函数f (x ) 的全体原函数F (x) +C (C 为任意常数),称为f (x ) 在区间I 内
的不定积分(indefinite integral),记作f (x )dx ,即
f (x )dx F (x ) C (C 为任意常数)
3.怎样正确理解微分运算和积分运算是互逆的?
1
sin x ,x 0
4.对分段函数f (x ) 的不定积分时,以下计算是否正确?
x , x 0
sin xdx cosC , x 0
f (x )dx 1 2
xdx 2x +C , x 0
答
三、练习题
1. d d d f x dx ;
答:d d d f x dx f x dx
1 2
2. 设f (x)dx 6 ln( 3x 1) C ,则f (x) = ____________ ;
1 2 x
答:f (x ) ln(3x 1) 2
6 3x 1
3. 下面的计算对吗?如果不对,请说明理由,并改正过来。
(1)sin xdx cosx ; (2 )cosx sin x C
2
5 1 6
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