史上最 经典的 三角函数的不定积分.pdf

三角函数有理式的不定积分 由 u(x) 、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于 u(x) 、v(x) 的有 理式，并用 R(u(x),v(x))表示. x R(sin x, cos x)dx是三角函数有理式的不定式.一般通过变换 t=tan 2 ,可把他化为 有理函数的不定积分。这是因为 x x x 2 sin cos 2 tan 2 2 2 2t Sinx 2 (8) 2 x 2 x 2 x 1 t sin  cos 1 tan 2 2 2 2 x 2 x 2 x cos sin 1 tan 2 2 2 2 1t Cosx 2 (9) 2 x 2 x 2 x 1 t sin  cos 1 tan 2 2 2 2 dx dt 1t2 2t 1t2 2 所以 R(sin x, cos x)dx R( , ) dt （10）   2 2 2 1t 1 t 1 t 1 sin x 例3 求 dx sin x(1 cos x) x 解 令 t=tan ,将(8)、（9 ）、（10）代入被积表达式， 2 2t 1 1 sin x 1 t2 2  dx  2  2 dt