“应用随机过程”讲义一.ppt

应用随机过程讲义 第一讲 应用随机过程 清华大学数学科学系 林元烈 主讲 学习要求 不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想 学会把抽象的概率和实际模型结合起来 学习重点 用随机变量表示事件及其分解——基本理论 全概率公式——基本技巧 数学期望和条件数学期望——基本概念 随机事件与概率 随机试验 要点： 在相同条件下，试验可重复进行； 试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。 样本点 对于随机试验E，以ω表示它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。 样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。 Ω ＝{ω} 随机事件 粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。 事件的关系与运算 公理化定义 概率是满足 非负性； 归一性； 可列可加性； 的集函数。 可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集。 概率的性质 1. 2. 3. 有限可加性 7. 8. 可列次可加性 9. 概率连续性 这部分的详细讨论可以参见 《随机数学引论》 林元烈，清华大学出版社 Buffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。 测度：满足非负性、可列可加性的集函数。 实际上，设集类 以上集类和A生成相同的σ-代数,都是上面提到的一维Borelσ-代数，即 直观地说， 中包含一切开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。 随机变量 定义解释 离散型随机变量的示性函数表示法 这说明对于任一d.v.r.，总可以分解为互不交的事件的示性函数的迭加。 随机变量等价定义 连续型随机变量的概率密度函数 二维随机变量的分布函数 二维Borel-σ代数 由平面上矩形的全体生成的σ－代数 常用随机变量的分布（列出,期望方差） 两点分布 正态分布 二项分布 指数分布 Poisson分布 均匀分布 几何分布 二维正态分布 二维正态分布的优良性质 X,Y相互独立 X,Y不相关 随机变量的数字特征 及条件数学期望 数学期望（复习） “加权平均” 为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-S积分的概念。 在定义了R-S积分之后，我们可以将所有随机变量的数学期望形式进行统一。 Chebyshev不等式 条件数学期望 例： 推广至一般随机变量 求条件数学期望的一般步骤 先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条件密度函数； 根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件下的数学期望； 将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y) 重要结论：E(X|Y)=E(E(X|Y,Z)|Y)=E[E(X|Y)|Y,Z] 以示性函数为例，验证上面的结论 例： 推广：条件为两个随机变量E(X|Y,Z) 如： 男 南 女 北 仍然以离散情况下的情形为例： 先求出E(X|Y=yj ,Z=zk )＝g(yj, zk)，依次可写出E(X|Y,Z)的分布律。 用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面“随机变量”部分 ） 将概率运算纳入求期望运算的范畴 理解 E(X|Y)是ω的函数，也是Y(ω)的函数，即Y(ω) 取值不同， E(X|Y)也取相应的值； 当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是离散型随机变量。 将x替换成X 条件数学期望的性质 设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y)),E{g(X)h(Y)}存在，则 (重要!) 全期望公式 将全概率公式纳入全期望公式的范畴 同理可验证另一个等号 由 X2和Y3独立 用示性函数表示X2 g(yj, zk)是关于yj, zk的二元函数 ？ 几个事件的独立性 比较甲乙