极限运算中等价无穷小替换错误剖析.pdf

2009年10月 洛阳师范学院学报 Oct，2009 of Normal V01．28No．5 Journal 第28卷第5期 LuoyangUniversity 极限运算中等价无穷小替换错误剖析 鲍红梅 (淮阴工学院计算科学系，江苏淮安223003) 在求函数极限时常常要进行等价无穷小替换， 但练习者在进行等价无穷小替换时却往往会出现这 姆守：姆雾12=吉． 样那样的错误．要避免这些错误，必须对产生这些 错误的根源进行探寻和分析，透彻理解并掌握等价 2等价无穷小替换错误剖析 无穷小替换要遵循的基本原则． 2．1等价无穷小替换的基本原则 1 常见的等价无穷小替换错误 定理设a，卢，O／’，卢’是自变量的同一变化过程 求初等函数极限时经常会出现对和与差式进行 的无穷小量，且a～a’，卢一卢’如果lim等存在，那 这样的等价无穷小替换． 设Ot，口，0c’，卢’和7是自变量的同一个变化过程么lim号-lim争· 的无穷小量，且d一卢，a—a’，JB一卢’，于是作替换： lim幽-*lim生型． 证明lim石“-=lim参,。歹tv‘舌 y 7 而这样的等价无穷小替换往往会导致错误． a p 口 口 =lim芋‰等。lim管‰等 例1计算lim．tanx．-广si—nx 该定理是等价无穷小替换的基本原则，本质上 z—刖 戈 为因式替换原则，即函数的分子分母中的因式若是 【正解】 因为 无穷小量，则可用其等价无穷小替换，进一步求得 1 tan．x一菇，(1一COSX)一{■2 函数的极限值． 2．2无穷小替换错误的根源探析 所以 lim_tanx-sinx：lim塑丛乓兰盟 由于利用等价无穷小替换求函数极限时，所求 。 极限多为lim等等类型，且其中函数a(x)，卢(戈) H·拶L菇， 1 2 均具有各阶导数．又由于当自变量的变化过程为菇 ，．”尹 1 2粤丁2虿’ —州。或石-+∞时可转化为互—灯的情形，藉此我们设 【错解1】 由于tanx—sinx一戈，所以 lim 1，求 Ttanx-sinx=lim掣=0． ，—柏 茗。 #—加 茗。 -0’姆(菇)=o，警(并)=0，且姆糟2 21 lim也{差盟． [错M ￡—～ Z p—w Z