9.4.5三垂线定理及逆定理课件曹新田.ppt

练习：PA⊥△ABC所在平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，求点P到直线BC的距离． * * 岁月如水流到什么地方就有什么样的时尚我们怎能苛求世事与沧桑 高2012级15班 曹新田 三垂线定理的逆理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。 三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 线射垂直 线斜垂直 定 理 逆 定 理 线射垂直 线斜垂直 定 理 逆定理 三垂线定理及逆定理涉及的几何元素： (1)一个平面; a (2)四条直线: ①平面的垂线; ②平面的斜线; ③斜线在平面内的射影; ④平面内的一条直线. (3)三个垂直: ①直线与平面垂直; ②平面内的一条直线与斜线在平面内的 射影垂直; ③平面内的一条直线与斜线垂直. 1、两平行直线在一平面内的射影不可能是（ ） A、 两平行直线 B、两点 2、两直线在平面内的射影是两相交直线，则这 两直线的位置关系不是（ ）　　　　　　 　　　　　　　 A、两异面直线; B、两平行直线 C、两相交直线 ; D、以上都不对 巩固练习： D B 3、斜线b在面α内的射影为c，直线a ⊥c， 则a与b?????????????（　） A．垂直 B．不一定垂直 C．共面或垂直 D．以上都有可能 C、一条直线 D、两相交直线 D 例1：在空间四边形ABCD中AB⊥CD,AH⊥平面BCD, 垂足为H,求证:BH⊥CD. A B ∴BH⊥CD. ∵AB⊥CD. 证明:∵AH⊥平面BCD， ∴BH为斜线AB在 平面BCD上的射影. D C H 平面BCD， ∵CD 应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤: “一垂”:找平面及平面的垂线 “一垂二射三证明” “二射”:找斜线在平面上的射影 “三证明”:用定理证明直线垂直 例2：如图所示，已知PA ⊥平面ABC，∠ACB= 90°， AQ⊥PC，AR⊥PB，试证?PBC、 ?PQR为直角三角形。 证明：∵PA⊥平面ABC，∠ACB= 90°， ∴AC⊥BC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，∴BC⊥PC（三垂线定理），∴?PBC是直角三角形； ∴BC⊥平面PAC，AQ在平面PAC内，∴BC⊥AQ，又PC⊥AQ，∴AQ⊥平面PBC，∴QR是AR在平面PBC的射影，又AR⊥PB，∴QR⊥PB（三垂线逆定理）， ∴?PQR是直角三角形。 小结：凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明，而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。 例3：道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C， 再在道边取一点D， 使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20m B A C 90° D 45° 使BC与道边所成水平角等于 90°， B A C 90° D 45° ∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC ∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20m ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是25m。 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。 例4：直角三角形ABC中，∠B= 90°， ∠C= 30°， D是BC的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1， 求E到斜线AC的距离？ 解： 过点D作DF ⊥AC于F，连结EF， ∵DE⊥平面ABC，由三垂线定理知EF⊥AC，即E到斜线AC的距离为EF，在Rt ?ABC中， ∠B= 90°，∠C= 30°，AC=2， ∴BC= ∵DF⊥AC， ∴ 在Rt ?EDF中 为所求 解：设BC的中点为D，连结PD． ∵AB＝AC＝13，BC＝10， ∴AD⊥BC． 且AD＝12． 又∵PA⊥平面ABC，　　　 ∴PD⊥BC． 即 PD的长度就是P到直线BC的　　　　 距离． 而 PD＝13．