6[1][1].1定积分的定义与性质.ppt

* 第六章 定积分 §6.1定积分的定义与性质 一 引入实例 1 曲边三角形的面积计算 因而将曲边三角形分成了n个小曲边梯形（第一个除外，因为第一个还是一个曲边三角形）。 【6-1-1】 X Y O 1 【6-1-2】 【6-1-3】 2 曲边梯形的面积计算 （1）分割： （2）近似计算： 【6-1-4】 （3）求和：因而整个曲边梯形的面积就可近似计算为 （4）取极限：求S的准确值 【6-1-5】 3 变速直线运动的路程计算 直线运动的路程计算，若为匀速运动，则路程的计算为速度乘以时间即可，但若为变速运动，则不能这样计算，因为速度是在随时间的变化而变化，如 （1）分割： （2）近似求和： 【6-1-6】 （3）取极限： 二 定积分的定义 1 定义： 【6-1-7】 因此按定义有： 前述引例中的问题均可变为定积分： 曲边三角形面积为： 曲边梯形面积为： 变速直线运动的路程为： 【6-1-8】 2 定义中应注意的问题 （1）有关概念：积分号、被积函数、积分变量、被积表达式、积分限、积分上下限、积分区间。 （2）定积分的结果是一个数，与不定积分不一样。 （3）定积分仅与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，即有： 因为将一个区间段分成无穷段不能保证每一小段都非常小，但每一小段都非常小则必须是无穷段，当然，若对区间采用平均划分，则两者是一样的，此时可以代替。 【6-1-9】 3 可积函数的几个结论 （1）可积函数一定有界； （2）有限闭区间[a,b]上的连续函数一定可积； （3）在有限区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数一定可积。 【6-1-10】 三 定积分的几何意义 1 若f(x)≥0，则为曲边梯形的面积，体现为正面积。 2 若f(x)0，则为曲边梯形的面积的相反数，体现为负面积。 3 若f(x)在[a,b]上有正有负，则为正负面积的代数和。 例：教材例3即是引入例中第一个令b=1即可。 四 定积分的基本性质 1 性质1：线性运算性质 【6-1-11】 注：此性质可以推广到更多的有限个函数上去。 2 性质2：定积分具有对区间的可加性 理解：在曲边梯形面积上来理解，一个曲边梯形可以分解为两个曲边梯形，且面积等于它们面积的合计。 【6-1-12】 *