4.6函数的定义与性质.ppt

4.6 函数的定义与性质 函数的定义 函数定义 从A到B的函数 函数的像 函数的性质 函数的单射、满射、双射性 构造双射函数 函数定义 函数相等 从 A 到 B 的函数 B上A 实例 函数的像 函数的性质 实例 实例（续） 构造从A到B的双射函数 构造从A到B的双射函数（续） 构造从A到B的双射函数（续） 常函数、恒等函数、单调函数 集合的特征函数 自然映射 实例 4.7 函数的复合与反函数 函数的复合 函数复合的定理 函数复合的性质 反函数 反函数存在的条件 反函数的性质 函数复合的定理 函数复合运算的性质 函数复合运算的性质 反函数存在的条件 反函数 反函数的定义及性质 函数复合与反函数的计算 * * 定义 设 F 为二元关系, 若 ?x∈domF 都存在唯一的y∈ranF 使 xFy 成立, 则称 F 为函数. 对于函数F, 如果有 xFy, 则记作 y=F(x), 并称 y 为 F 在 x 的函数值. 例1 F1={x1,y1,x2,y2,x3,y2}  F2={x1,y1,x1,y2} F1是函数, F2不是函数  定义 设F, G为函数, 则  F = G ? F?G∧G?F 如果两个函数 F 和 G 相等, 一定满足下面两个条件： (1) domF = domG  (2) ?x∈domF = domG 都有 F(x) = G(x)  实例 函数 F(x)=(x2?1)/(x+1), G(x)=x?1 不相等, 因为 domF?domG. 定义 设A, B为集合, 如果 f 为函数 domf = A ranf ? B, 则称 f 为从A到B的函数, 记作 f：A→B. 实例 f：N→N, f(x)=2x 是从 N 到 N 的函数 g：N→N, g(x)=2也是从 N 到 N 的函数 定义 所有从 A 到 B 的函数的集合记作 BA, 读作“B上A”，符号化表示为  BA ={ f | f：A→B } 计数： |A|=m, |B|=n, 且m, n0, |BA|=nm. A=?, 则 BA=B?={?}. A≠?且B=?, 则 BA=?A= ?. 例2 设 A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, 求BA.  解 BA = {f0, f1, … , f7}, 其中  f0={1,a,2,a,3,a}, f1={1,a,2,a,3,b}  f2={1,a,2,b,3,a}，f3={1,a,2,b,3,b}  f4={1,b,2,a,3,a}，f5={1,b,2,a,3,b}  f6={1,b,2,b,3,a}, f7={1,b,2,b,3,b}  定义 设函数 f：A→B, A1?A. A1 在 f 下的像： f(A1) = { f(x) | x∈A1 } 函数的像 f(A) = ranf 注意： 函数值 f(x)∈B, 而像 f(A1)?B. 例3 设 f：N→N, 且 令A={0,1}, B={2}, 那么有 f(A) = f({0,1}) = { f(0), f(1) } = {0, 2} 定义 设 f：A→B,（1）若ranf = B, 则称 f：A→B是满射的.（2）若任意x1， x2 ?A 而且不相等，都有f(x1)与 f(x2)不相等, 则称 f：A→B是单射的.（3）若 f：A→B既是满射又是单射的, 则称 f： A→B是双射的（一一到上的） f 满射意味着：?y ?B, 都存在 x使得 f(x) = y. f 单射意味着：f(x1) = f(x2) ? x1= x2 例4 判断下面函数是否为单射, 满射, 双射的, 为什么? (1) f：R→R, f(x) = ?x2+2x?1 (2) f：Z+→R, f(x) = lnx, Z+为正整数集 (3) f：R→Z, f(x) = ?x? (4) f：R→R, f(x) = 2x+1 (5) f：R+→R+, f(x)=(x2+1)/x, 其中R+为正实数集. ? 解 (1) f：R→R, f(x)=?x2+2x?1 在x=1取