3chapter2重积分的概念与性质.ppt

* Chapter 2(1) 重积分的概念与性质 教学要求： 1. 理解二重积分、三重积分的概念; 2. 了解重积分的性质; 3. 了解二重积分、三重积分的中值定理. 1. 二重积分的定义 1) 引例（考虑曲顶柱体的体积） 已知以z=f(x,y)为曲顶，以xoy面上区域D为底，侧面是 以D的边界曲线为准线母线平行于z轴的柱面，构成一 曲顶柱体，求其体积. x y z o D Solution. 2) 二重积分的定义 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 注意: (1) 若二重积分存在, 则为一确定数值; (2) 若二重积分存在, 则取分割为平行坐标轴的直线 网,此时除靠近边界的小区域外均为小矩形, D (3) 引例中曲顶柱体体积为 (5) 存在性问题: 若f(x,y)在闭区域D上连续, 则二重积分存在. 3)几何意义： x y z o a x y z o a 2. 二重积分的性质 性质1. 性质2. 性质3. 对区域具有可加性 性质4. 若 为D的面积， 性质5. 特殊地 性质6. （二重积分估值不等式） 性质7. （二重积分中值定理） Proof. 几何解释: Solution. 由于被积函数相同, 且具有对称性, 因此D1,D2的关系反映了I1,I2的关系. Solution. Method1. o x y 1 3 如图所示 Method2. Solution. （积分中值定理） （函数的连续性） Solution. . 设、分别是在闭区域D上的最大值和最小值，为D的面积，则 设函数在闭区域上连续，为 的面积，则在D上至少存在一点使得 ex5. 判断的符号. 当时, 故 ; 即当 时, 于是. 设、分别是在闭区域(上的最大值和最小值，V为(的体积，则 设函数在闭区域 上连续，V为的体积，则在 上至少存在一点使得