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郑平正 制作 * * * * 郑平正 制作 3.1回归分析的基本思想及其初步应用（一） 高二数学 选修2-3 复习 一 变量之间的关系 1 确定性的函数关系 2 不确定性的相关关系： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系，相关关系是一种非确定的关系 . 年龄 脂肪 23 9.5 27 17.8 39 21.2 41 25.9 45 49 27.5 26.3 50 28.2 53 29.6 54 30.2 56 31.4 57 30.8 年龄 脂肪 58 33.5 60 35.2 61 34.6 如上的一组数据，你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗？ 二 线性回归分析的步骤 : 下面我们以年龄为横轴， 脂肪含量为纵轴建立直 角坐标系，作出各个点， 称该图为散点图。 如图： O 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄 脂肪含量 5 10 15 20 25 30 35 40 1 画散点图 将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量 的一组数据的图形，这样的图像叫散点图 从刚才的散点图发现：年龄越大，体内脂肪含量越高，点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。但有的两个变量的相关，如下图所示： 如高原含氧量与海拔高度 的相关关系，海平面以上， 海拔高度越高，含氧量越 少。 作出散点图发现，它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程，称它们成负相关. 注：可考虑让学生思考书P77的思考. O （1）正相关，负相关 我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样，如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线，该直线叫回归方程。 那么，我们该怎样来求出这个回归方程？ 请同学们展开讨论，能得出哪些具体的方案？ 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄 脂肪含量 0 5 10 15 20 25 30 35 40 （2） 线性相关 我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强，人们经过长期的实践与研究，已经找到了计算回归方程的斜率与截距的一般公式: 以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫最小二乘法。（参看如书P80） 2 回归方程的求解 线性回归分析的步骤 : 1、画散点图 4、用回归直线方程进行预报 3、求回归直线方程 2、求 最小二乘估计公式 ： 称为样本点的中心。 三 描述两个变量之间线性相关关系的强弱的相关系数 r 课前检测： 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2 维修费用y 6 5 4 3 2 使用年限x 若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求： （1）线性回归方程 的回归系数 ； （２）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ 使用年限为10年时，维修费用是:12.38万元 2008年5月，中共中央国务院关于加强青少年体育、增强青少年体质的意见指出城市超重和肥胖青少年的比例明显增加.“身高标准体重”该指标对于学生形成正确的身体形态观具有非常直观的教育作用. “身高标准体重”从何而来？我们怎样去研究? 创设情境： 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。 59 43 61 64 54 50 57 48 体重/kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高/cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 问题呈现：女大学生的身高与体重 解； 1.由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y． 3.回归方程： 2. 散点图； 4.本例中, r=0.7980.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。 探究： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？ 答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。 59 43 61 64 54 50 57 48 体重/kg 170 155 165 17