2016高考数学总复习课时作业堂堂清平面向量5-3.ppt

第三节　平面向量的数量积 1．数量积的概念： (1)向量的夹角：如图1，已知两个非零向量a和b，作 则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． (2)数量积的定义： (3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉＝θ. (1) . (2) (3) . (4) (5) 3．运算律：(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．向量数量积的坐标运算： 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a·b＝x1x2＋y1y2； 1．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模是 (　　) A．2　　　　　　　　　　 B．4 C．6 D．12 解析：(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－|a||b|cos60°－ 6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0. ∴(|a|－6)·(|a|＋4)＝0. ∴|a|＝6. 答案：C 答案：D 3．已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a与b的夹角大小为 (　　) 解析：c⊥a，则c·a＝0，即(a＋b)·a＝0，即a2＝－a·b.∴a·b＝－a2＝－1，即|a||b|cosθ＝－1. 答案：D 答案：－2 答案：2 平面向量数量积的运算 [例1]　(2009·全国卷Ⅰ)设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为 (　　) [分析]　先由条件a·b＝0，知向量a与b垂直．要使(a－c)·(b－c)的值取得最小，就要把(a－c)·(b－c)表示为某个变量的函数，从而转化为求函数的最小值． [拓展提升]　涉及直角或两直线垂直的问题均可利用a·b＝0建立等式，线段的长度相等问题均可以建立|a|＝|b|?|a|2＝|b|2?a2＝b2的等式来解决． (1)在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，求 (2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，试求(a－2b)·(2a＋3b)． (2)解法1：a－2b＝(3，－4)－2×(2,1)＝(－1，－6)， 2a＋3b＝2×(3，－4)＋3×(2,1)＝(12，－5)， (a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18. 解法2：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18. 利用平面向量的数量积解决夹角、长度问题 [拓展提升]　本题的突破点是把 CCCCCC 转化到向量的数量积，进而求夹角，使三个角相等，从而得证． (2009·安徽高考)给定两个长度为1的平面向量 。。。它们的夹角为120°.如图2所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动．若 ，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______． 解析：∵| |＝1，∴x2＋y2＋2xycos120°＝1.∴3xy＝(x＋y)2－1≤3( )2，(x＋y)2≤4.∴x＋y的最大值是2. 答案：2 利用平面向量的数量积解决垂直问题 [例3]　(1)点O是三角形ABC所在平面内一点，满足： ，则点O是△ABC的 (　　) A．内心　　　　　　　　 B．外心 C．重心 D．垂心 (2)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 λ∈[0，＋∞)，则P点的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心 [答案]　(1)D　(2)B 设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是多少？ 解： 平面向量数量积的综合问题 [例4]　(2009·宁夏、海南高考)已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且 则点O，N，P依次是△ABC的 (　　) A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心 [分析]　要判定O