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8.6二元函数的极值和最值.PDF
7-6
1 8.6 二元函数的极值和最值
问题的提出
例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每
瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估
x
计,如果本地牌子的每瓶卖 元,外地牌子的
y
每瓶卖 元,则每天可卖出 70 - 5x + 4y 瓶本
80 + 6x - 7y
地牌子的果汁, 瓶外地牌子的果汁
问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可
取得最大收益?
每天的收益为f (x , y ) =
(x - 1)(70 - 5x + 4y ) + (y - 1.2)(80 + 6x - 7y )
求最大收益即为求二元函数的最大值.
更一般:给定区域D 上的二元函数z=f (x,y)
讨论它的极值和最值问题
7-6
3 元函数极值的定义
设函数z = f (x , y )在点(x , y ) 的某邻域内
0 0
有定义,对于该邻域内异于(x , y ) 的点(x , y ) :
0 0
若满足不等式f (x , y ) f (x , y ) ,则称函数
0 0
在 (x , y ) 有 极 大 值; 若 满 足 不 等式
0 0
f (x , y ) f (x , y ) ,则称函数在(x , y ) 有极
0 0 0 0
小值;
极大值、极小值统称为极值.
使函数取得极值的点称为极值点.
7-6
4 示意图
二元函数的图像一般是一张空间曲面
7-6
5 几个具体例子
例1 函数z = 3x 2 + 4y 2
在(0,0) 处有极小值. (1)
2 2
例2函数z = - x + y (2)
在(0,0) 处有极大值.
例3 函数z = xy
(3)
在(0,0) 处无极值.
7-6
6 元函数取得极值的必要条件
定理
设函数z = f (x , y )在点(x 0 , y 0 )具有偏导数,且在
点(x , y )处有极值,则它在该点的偏导数必然为
0 0
零: f (x , y ) = 0, f (x , y ) = 0.
x 0 0 y 0 0
7-6
7 定理的证明
证 不妨设z = f (
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