一元二次方程根的判别式的综合应用要领.doc

一元二次方程根的判别式的综合应用 四川省武胜县中心镇小学初中部　曹建局 　　一、知识要点： ? 1.??一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 ? 定理1? ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根. ? 　　定理2? ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根. ? 　　定理3? ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根. ? 　　2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。 ? 　　定理4? ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0. ? 　　定理5? ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0. ? 　　定理6? ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0. ? 　　注意：（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0. ? 　　二.根的判别式有以下应用： ? ①??不解一元二次方程，判断根的情况。 ? 例1．??不解方程，判断下列方程的根的情况： ? (1)?????????2x2+3x-4=0　(2)ax2+bx=0(a≠0) ???? 　　　解：(1) 2x2+3x-4=0 ? 　　　　　　a=2, b=3, c=-4, ? 　　　　　∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=410 ? 　　∴方程有两个不相等的实数根。 ? 　　　(2)∵a≠0,?∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ? 　　　　∵Δ=(-b)2-4·a·0=b2, ? 　　　　　∵无论b取任何关数，b2均为非负数， ? 　　　　　∴Δ≥0，　　故方程有两个实数根。 ? 　②??根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 ? 　　例2．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； ? 分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0； ? 　　解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k ? 　　（1）∵方程有两个不相等的实数根， ? 　　　∴Δ＞0，即36-4k＞0.解得k＜9 ? 　　　（2）∵方程有两个不相等的实数根， ? 　　　　　∴Δ=0，即36-4k=0.解得k=9 ? 　　（3）∵方程有两个不相等的实数根， ? 　　∴Δ0，即36-4k0.解得k9 ? ③??证明字母系数方程有实数根或无实数根。 ? 　　例3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 ? 　　分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 ? 　　证明：　　Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4) ? 　　　=4m2-4(m4+5m2+4) ? 　　　=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4) ? 　　　=-4(m2+2)2 ? 　　∵不论m取任何实数(m2+2)20, ? 　　∴?-4(m2+2)20,?即Δ0. ? 　　∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 ? 　　小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤： ? 　　（1）计算Δ（2）用配方法将Δ恒等变形（3）判断Δ的符号（4）结论.其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。 ? ④??应用根的判别式判断三角形的形状。 ? 　　例4．已知：a、b、c为ΔABC的三边，当m0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ΔABC为RtΔ。 ? 　　证明：整理原方程： ? 　　方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0. ? 　　整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0 ? 　　(c+b)x2-2ax +cm-bm=0 ? 　　根据题意： ? 　　∵方程有两个相等的实数根， ? 　　∴Δ=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0 ? 　　　4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0 ? 　　　ma2-c2m+b2m=0 ? 　　∴Δ=m(a2+b2-c2)=0 ? 　　又∵?m0,　　∴a2+b2-c2=0　　∴a2