直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角.ppt

* * 第九章　立体几何 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 创设情境　兴趣导入 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 在如图所示的长方体中，直线 和直线AD是异面直线，度量 和 ，发现它们是相等的． 如果在直线AB上任选点P，那么过点P分别作直线 与直线AD 相等？ 的平行线，它们所成的角是否与 动脑思考　探索新知 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 两条相交直线的夹角是这两条直线相交所成的最小的正角． 经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交 直线的夹角叫做两条异面直线所成的角． 动脑思考　探索新知 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 n m n O n m O 如图所示， ∥m、 ∥n ，则 与 的夹角 就是异面直线m与n所成的角． 为了简便，经常取一条直线与过另一条直线的平面的交点作为点O．如下图 巩固知识　典型例题 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 A B C D 例1　如图所示的长方体中， ，求下列异面直线所成的角： (1) 与DC； (2) 与 解 （1）因为DC∥AB，所以 为异面直线 与DC所成的角． 即所求角为 （2）因为 ∥ ，所以 为异面直线 与 所成的角． 在直角△ 中， 所以 即所求的角为 运用知识　强化练习 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 在如图所示的正方体中，求下列各直线所成的角的度数： 创设情境　兴趣导入 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 正方体 中，直线 与直线 AB、BC、CD、 AD、AC所成的角各是多少？ 可以发现，这些个角都是直角． 动脑思考　探索新知 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 如果直线l与平面 内的任意一条直线都垂直，那么就称直线l与 的交点叫做垂足． 垂直，记作 ．直线l叫做平面 的垂线，垂线l与平面 平面 画表示直线l和平面 垂直的图形时，要把直线l画成与平行四边 形的横边垂直（如图所示），其中点A垂足． 创设情境　兴趣导入 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 将一根木棍PA直立在地面 上，用细绳依次度量 点P与地面上的点A、B、C、D的距离（如图），发现 PA最短． 动脑思考　探索新知 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 直线PB与平面 相交但不垂直，则称直线PB与平面 斜交，直线PB叫做 的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．点P与斜足B之间的线段叫做点P 平面 到这个平面的斜线段． 过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面内的射影． 如图所示，直线AB是斜线PB在平面 内的射影． 从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段， 垂线段最短．因此，将从平面外一点P到平面 的 的距离． 垂线段的长叫做点P到平面 如图所示， ，线段PA叫做垂线段，垂足A叫做点P在平面 内的射影． 创设情境　兴趣导入 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 如图所示，炮兵在发射炮弹时，为了击中目标，需要调整好 炮筒与地面的角度． 动脑思考　探索新知 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 就是直线PB与平面 如图所示， 所成的角． 斜线l与它在平面 内的射影 的夹角，叫做直线l与平面 所成的角． 规定：当直线与平面垂直时，所成 的角是直角；当直线与平面平行或直线在 平面内时，所成的角是零角．显然，直线 与平面所成角的取值范围是 动脑思考　探索新知 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 如果两条直线与一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？ 巩固知识　典型例题 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 例2 如图所示，等腰 ABC的顶点A在平面 外，底边BC在平面 内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面 的垂线段 AD=10．求 （1）等腰 ABC的高AE的长； （2）斜线AE和平面 所成的角的大小（精确到1o）． 解 (1) 在等腰 ABC中， ，故由BC=16可得BE=8. 在 AEB中，∠AEB=90°，因此 巩固知识　典型例题 9．3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角 例2 如图所示，等腰 ABC的顶点A在平面 外，底边BC在平面 内，已知底边长BC=16，腰长AB=17，又知点A到平面 的垂线段 AD=10．求 （1）等腰 ABC的高AE的长； （2）斜线AE和平面 所成的角的大小（精确到1o）． （2）联结DE.因为AD是平面 的垂线，AE是 的斜线， 内的射影. 所以DE是AE在 是AE和平面 所成的角. 因此 ADE中， 在 所以