泰勒公式迈克劳林拉格朗日余项演示课件.ppt

第三节 一、泰勒公式的建立 1. 求 n 次近似多项式 2. 余项估计 泰勒中值定理 : 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 特例: 在泰勒公式中若取 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 说明: 注意舍入误差对计算结果的影响. 例2. 用近似公式 2. 利用泰勒公式求极限 3. 利用泰勒公式证明不等式 内容小结 2. 常用函数的麦克劳林公式 泰勒多项式逼近 泰勒多项式逼近 思考与练习 泰勒 (1685 – 1731) 麦克劳林 (1698 – 1746) 2. 证明 e 为无理数 . * 二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 — 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 泰勒 ( Taylor )公式 特点: 以直代曲 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x 的一次多项式 要求: 故 令 则 令 (称为余项) , 则有 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 阶的导数 , 时, 有 ① 其中 ② 则当 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 注意到 ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 则有 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 由此得近似公式 其中 其中 类似可得 其中 其中 已知 其中 类似可得 1. 在近似计算中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 已知 解: 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 本例 若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 总误差为 这时得到的近似值不能保证误差不超过 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 . 计算 cos x 的近似值, 使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围. 解: 近似公式的误差 令 解得 即当 时, 由给定的近似公式计算的结果 能准确到 0.005 . 例3. 求 解: 由于 用洛必塔法则不方便 ! 用泰勒公式将分子展到 项, 例4. 证明 证: 1. 泰勒公式 其中余项 当 时为麦克劳林公式 . 3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算 (3) 其他应用 求极限 , 证明不等式 等. (2) 利用多项式逼近函数 , 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 计算 解: 原式 英国数学家, 他早期是牛顿学派最 优秀的代表人物之一 , 重要著作有: 《正的和反的增量方法》(1715) 《线性透视论》(1719) 他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 . 他是有限差分理论的奠基人 . 英国数学家, 著作有: 《流数论》(1742) 《有机几何学》(1720) 《代数论》(1742) 在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的 麦克劳林级数 . 两边同乘 n ! = 整数 + 假设 e 为有理数 ( p , q 为正整数) , 则当 时, 等式左边为整数; 矛盾 ! 证: 时, 当 故 e 为无理数 . 等式右边不可能为整数. * * * 运行时, 点击按钮“泰勒”, 或相片 , 可显示泰勒简介,演示结束自动返回. * 证明见江泽坚“数学分析”（上册）。 运行时, 点击按钮“麦克劳林” , 或 相片 , 可显示麦克劳林简介, 演示结束自动返回. 运行时, 点击按钮“例如”, 或 “例如…“ 即可显示动画