3平面向量的坐标表示与线段的定比分点公式.doc

5．3平面向量的坐标表示及线段的定比分点公式 要点透视： 1．要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 2遇到共线向量与平行有关问题，一般应考虑运用向量平行的充要条件． 3．线段的定比分点公式，要注意求定比分点A的值，以便顺利求出分点坐标． 题析 例(2002年天)平面直角坐标系中， O是坐标原点，已知两点A3， ，B－，3，若点C满足，其中α，β，且αβ=1，则点C的轨迹方程是() A．3x＋y－11＝0 B．－＋y－225 C．x－y＝0 D．＋2 y－5＝0 要点精析I设x，y，＝3，，－1，3， α·3α，α)，β－ββ)，又αβ=(3α－βα+3β)，x，y＝3α－β，α＋3β， 又α＋β＝，因此得x＋y＝5，所以选D． 思维延伸本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法． 例(2003年江苏卷)已知常数0，向量0，，＝，0，经过原点O以λ为方向向量的直线与经过定点A0，a以－λ为方向向量的直线相交于点P，其中λR，试问是否存在两个定点E，F，使得PE|＋PF|为定值？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 要点精析本题考查平面向量的概念和计算、求轨迹的方法、椭圆的方程和性质、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力． 解：根据题没条件，首先求出点P满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得P到两定点的距离之和为定值． 因为，0，＝，， 所以λ=(λ，，－λ＝1，－2λ)． 因此直线OP和AP的方程分别为λ－－λax， 消去参数λ，得点Px，y的坐标满足yy－－2x2， 整理得因为0，所以得 （1）当时，方程①表示圆，故不存在合乎题意的定点E和F； （2）当时，方程①表示椭圆，焦点E)，F(－为合的（3）当时，方程①表示椭圆，焦点)和F(0, －为合的。例如图所示，平行四边形ABCD顶点A的坐标为－2，1，一组对边AB，CD的中点分别是M3，0，N－1，－2，求其余顶点坐标． 要点精析抓住平行四边形是中心对称图形，用中点坐标即可求解． 解法1：设其余三个顶点B，C，D的坐标分别为x1，y，x2，y，x3，y，因为M是AB的中点，, 解得, 所以B8，－1． MN的中点为 P1，－1，P是AC中点，可得 C4，－3． 再由N为CD中点，可得D－6，－1． 所求顶点坐标为B8，－1，C4，－3，D－6，－1． 解法2：设B点坐标x，y，则＝，即5，－1＝x—3，y 解得所以B8，－1． 同理，由AMDN=NC，求得 C4，－3，D－6，－1． 思维延伸本题的两种解法体现了线段的定比分点坐标公式与向量坐标运算的统一性．同时，还体现了向量坐标运算的优越性． 一、选择题 1．已知平行四边形三个顶点的坐标为－1，0，，0，，－5，则第四点的坐标为（） A(1，5)或(5，－5) B．(1，5)或(－3，－5) C．(5，－5)或(－3，－5) D．(1，5)或(－3，－5)或(5，－5) 2．在梯形ABCD中，ABCD，且|=λ||(λ≠0)．若，=， 则等于（） Aλ＋ B．λ C．＋ D． 3．已知＝(－2，5)，|= 2||．若与反向，则等于（） A(－4，10)(4，－10) C．－1，) D．1．－) 4设点P( 2，3)分有向线段所成之比为，点的坐标为(1，2)，则P的坐标是（） A(2，3)B．(5，4) C．(4，5) D．(5，6) 5．已知ABC的三个顶点 A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)．若直线x将ABC分割成面积相等的两部分，则实数的值为（） A B．1+ C．1 D． 6在ABC中，A( 0，7)，B(－4，5)，重心G(0，)，则ABC为（） A锐角三角形等边三角形C．钝角三角形直角三角形 二、 7．已知两个向量，4)，(2，－1)，若与－平行，则x＝8．已知A(－3，2)，( 8，0)，则线段AB中点的坐标为9．设，是不共线的两个向量，已知2+k，＋，－，若A，B，D三点共线，则的值为10．已知三点A(1，1)，B(2，－4)，C(x，－9)共线，则x的值是三、解答题11．已知向量(8，2)，，3)，(6，12)，(6，4)．问：是否存在实数，y，，同时满足下列两个条件：①+y+z，② x＋＋z＝1？如果存在，请求出x，，z的值；如果不存在，说明理由． 12如图所示，已知三点A(x1，y)，B(x，y