29.第29讲：椭圆.doc

第二十九讲 椭圆 一、引言 （一）本节的地位：圆锥曲线是中学教学的核心内容，又是学习高等数学的基础知识，所以它是高考的重点内容，在高考试卷中一般会有一道有关圆锥曲线的解答题，并且椭圆、双曲线、抛物线出现的几率大体相当． （二）考纲要求：通过本节的学习要理解椭圆的定义，掌握椭圆方程的标准方程，能灵活应用椭圆的几何性质解决相关问题，在具体问题的解决过程中继续加深对坐标思想的理解，感悟函数与方程思想以及分类与整合、转化与化归等重要的数学思想．重点是掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质；难点是椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用． （三）考情分析：有关椭圆的题目一般会出一道大题或小题．在选择题或填空题中主要考查对概念的理解和灵活运用、基本量的求解以及集合性质的应用，解答题一般为中档题或难题，往往与函数、导数、不等式、数列等知识综合考查，主要考查推理能力及数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想． 高考考查的题目的类型：对概念的考查、基本量及几何性质的考查、求曲线方程、突出几何特征的考查、参数范围问题等． 二、考点梳理 椭圆第一定义： 平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆焦距． 椭圆第二定义：平面内到一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数的点的轨迹叫做椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数叫椭圆的离心率． 椭圆的标准方程与几何性质： 标准方程 焦点在轴上 焦点在轴上 几 何 性 质 范围 顶点坐标 ， 焦点坐标 准线方程 焦半径 ， ， 对称轴方程 、 长短轴 椭圆的长半轴长是，椭圆的短半轴长是． 离心率 关系 另外：椭圆的通径长：. 焦点三角形的面积为：. 三、典型问题选讲 （一）考查椭圆的概念 例1（2009，全国）已知椭圆的右焦点为，右准线为，点，线段交于点，若，则=( ) a. b. 2 C. D. 3w 解析：过点B作于M，并设右准线与轴的交点为N，易知FN =1． 由题意，故． 又由椭圆的第二定义，得 ．故选A. 归纳小结：本题充分挖掘图形的几何性质，应用椭圆的第二定义解决问题． 例2 如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 ． 分析：认真研究图形的特征，把椭圆的长轴分成等份，我们知道椭圆具有对称性，因此可利用椭圆的定义及图形的对称性求解． 解法1：不妨设是椭圆的左焦点，则由第二定义得，其中是椭圆的半长轴，是离心率，是点的横坐标． 所以， 注意到椭圆的对称性，可知，即． 所以＝7a＝35. 解法2：不妨设分别是椭圆的左、右焦点，由椭圆图形的对称性，得，根据椭圆第一定义，得: ． 归纳小结：圆锥曲线的第二定义，揭示了曲线上动点到焦点的距离和动点到对应准线的距离之比与离心率e之间的关系．当条件中含有焦半径（圆锥曲线上的点到焦点的距离）时，可考虑运用圆锥曲线的第二定义，如方法1；方法2巧妙利用了椭圆的对称性和第一定义，进行整体突破． 例3 椭圆的焦点为，，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是 ． 分析：欲求点横坐标的取值范围，需要建立关于的不等式，从不同的知识点切入就得到不同的解法． 解法1：（两个定义相结合）由条件可知，，，所以 ，． 根据椭圆的定义，，于是两边平方得 ，① 又在中，由余弦定理得，， 所以 ， 将①代入上式得，，设的横坐标为，，所以 ，． 解法2：（与向量知识结合）因为为钝角，所以． 设，由分析1可知，，， 所以 ， ② 又在椭圆上，所以 ，③ ②、③两式联立，消去，即得 ． 归纳小结：本题考查椭圆的定义及余弦定理、向量、不等式等知识综合，因此应注意提高综合解决问题的能力． （二）基本量求解 例4（2009，上海）已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则=____________． 解析：依题意，有， 可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2的半焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 分析：求离心率关键是根据已知条件得到、、的等量关系．若能充分利用图形的几何特征及曲线的定义，可简化运算过程达到求解的目的． 解法1：由题知点，因为点在椭圆上， 所以， 化简得，又因为， 所以， 化简得，同除以得， 解得， 因为，所以 ，故选C． 解法2：由题知点在椭圆上且横坐标为，纵坐标为正数，所以点的坐标为，又因为点在直线上，所以， 即，又因为， 所以， 同除以得， 解得， 因为， 所以，故选C