2015解步步高大1轮讲义〔理〕9.5.doc

§9.5　椭　圆 1.椭圆的概念 在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若ac，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若ac，则集合P为空集. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1 (ab0) ＋＝1 (ab0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 c2＝a2－b2  1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.(　×　) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).(　√　) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　×　) (4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆.(　√　) 2.已知椭圆的焦点在y轴上，若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值是(　　) A.B. C. D. 答案　D 解析　由题意知a2＝m，b2＝2，∴c2＝m－2. ∵e＝，∴＝，∴＝，∴m＝. 3.(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是(　　) A.＋＝1B.＋＝1 C.＋＝1D.＋＝1 答案　D 解析　由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1. 4.如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是__________. 答案　(0,1) 解析　将椭圆方程化为＋＝1， ∵焦点在y轴上，∴2，即k1，又k0，∴0k1. 5.已知椭圆＋＝1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________. 答案　－1 解析　设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|＝c，|AF2|＝c，有2a＝(1＋)c， ∴e＝＝＝－1. 题型一　椭圆的定义及标准方程 例1　(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　) A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为________. (3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)、P2(－，－)，则椭圆的方程为________. 思维启迪　(1)题主要考虑椭圆的定义； (2)题要分焦点在x轴和y轴上两种情况； (3)可以用待定系数法求解. 答案　(1)B　(2)＋y2＝1或＋＝1 (3)＋＝1 解析　(1)点P在线段AN的垂直平分线上， 故|PA|＝|PN|， 又AM是圆的半径， ∴|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6|MN|， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆. (2)若焦点在x轴上，设方程为＋＝1(ab0)， ∵椭圆过P(3,0)，∴＋＝1，即a＝3， 又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y2＝1. 若焦点在y轴上，设方程为＋＝1(ab0). ∵椭圆过点P(3,0).∴＋＝1，即b＝3. 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1. ∴所求椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1. (3)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0且m≠n). ∵椭圆经过P1、P2点，∴P1、P2点坐标适合椭圆方程.则 ①、②两式联立，解得 ∴所求椭圆方程为＋＝1. 思维升华　(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a|F1F2|这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1 (m0，n0，m≠n)的形式. 　(1)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________. (2)已知P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2分别是椭圆的