2014年毕业论文撰写经典模板6.doc

　　　　　　 本科毕业论文 题 目: 矩阵特征值与特征向量的研究 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 刘厚金 学 号： 100501401025 指导教师： 吴忠显 教师职称： 讲师 填写日期： 2014年 4月 30 日  摘 要 Abstract This article describes some theories of eigenvalues and eigenvectors of the matrix , based on these theories we do some promotions, and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix through their propositions and nature. Keywords: eigenvalue; eigenvector;?matrix; recursion relations ? 目 录 摘 要 ABSTRACTII 引言 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 2.2 列行互逆变换法 2.3 列初等变换法 3 矩阵特征值与特征向量在线性变换中的应用 4 小结 1  引言 　矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具是数域上的一个阶方阵,若存在一个数以及一个非零维列向量,使得 则称是矩阵的一个特征值,向量称为矩阵关于特征值的特征向量． 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括： （1）若重特征值，则个线性无关的特征向量，其中. （2）若线性无关的向量都是矩阵的对应于特征值的特征向量，则当不全为零时，仍是的对应于特征值的特征向量. （3）若的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是，则这组特征向量线性无关. (1.1) 由于, 所以它的坐标不全为零, 即齐次线性方程组有非零解. 从而, 齐次线性方程组（1）的特征值分别为，则 ，. （5）实对称矩阵的特征值都是实数，且对应不同特征值的特征向量正交. （6）若是实对称矩阵的重特征值，则对应特征值恰有个线性无关的特征向量. （7）设为矩阵的特征值，为多项式函数，则为矩阵多项式的特征值. 2 普通矩阵特征值与特征向量的求法 2.1 传统方法 确定矩阵的特征值和特征向量的传统方法可以分为以下几步： 求出矩阵特征多项式的全部特征根； 把所求得的特征根逐个代入线性方程组， 对于每一个特征值，解方程组，求出一组基础解系，这样，我们也就求出了对应于每个特征值的全部线性无关的特征向量. 　　例1 已知矩阵 求矩阵的特征值和特征向量. 解 = = 所以，由知的特征根. 当时， 由，即= 0得， 因此，属于特征值的特征向量为 . 当时， 由,即 = 0 得， 因此，属于特征值的特征向量为 . 2.2 列行互逆变换法 　　2.2.1 列行互逆变换法的定义 　　把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换： 　　（1）互换两列，同时互换两行； 　　（2）第列乘以非零数,同时第行乘； 　　 （3）第列倍数加到第列，同时第行倍加到第行. 　　2.2.2 列行互逆变换法的应用 　　例2 已知矩阵 求的特征值和特征向量. 解 所以，特征值， 对应特征值的特征向量为 ， 对应特征值的特征向量为 . 所以为的特征值． 2.3 列初等变换法 2.3.1 列初等变换的步骤 列初等变换法计算特征值与特征向