偏微分课后习题答案终极版.pdf

偏微分方程答案整理（部分） 第一章 2 、一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质 发生热交换，服从于规律 dQ k (u −u )dsdt 1 1 又假设杆的密度为ρ ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 πl 2 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度u u(x ,t) 。记杆的截面面积 4 为S 。由假设，在任意时刻t 到t +Δt 内流入截面坐标为x 到x +Δx 一小段细杆的热量为 2 ∂u ∂u ∂ u dQ1 k ∂x x +Δx sΔt −k ∂x x sΔt k ∂x 2 x sΔxΔt 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t +Δt 在 截面为x 到x +Δx 一小段中产生的热量为 ( ) 4k1 ( ) dQ2 −k1 u −u1 πlΔxΔt − u −u1 sΔxΔt l 又在时刻t 到t +Δt 在截面为x 到x +Δx 这一小段内由于温度变化所需的热量为 ∂u [ ( ) ( )] dQ3 cρ u x ,t +Δt −u x ,t sΔx cρ t sΔxΔt ∂t 由热量守恒原理得： u 2 4k cρ ∂ t sΔxΔt k ∂ u x sΔxΔt − 1 (u −u1)sΔxΔt ∂t ∂x 2 l 消去sΔxΔt ，再令Δx →0 ，Δt →0 得精确的关系： ∂u ∂2u 4k1 cρ ∂t k ∂x 2 − l (u −u1) 2 4k 2u 4k 或 ∂u k ∂ u − 1 (u −u1) a 2 ∂ − 1 (u −u1) 2 2 ∂t cρ ∂x cρl ∂x cρl 2 k 其中 a cρ 3、细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在 x 点处的点 在时刻 t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x ,t) 满足 方程 ∂ ∂u ∂ ∂u