第六讲 蒙特卡洛方法.ppt

第六讲 蒙特卡洛方法 计算机模拟方法分类 (1)蒙特卡洛(Monte Carlo)方法，又称随机模拟方法或统计试验方法。它是通过一个合适的概率模型不断产生随机数序列来模拟过程。自然界中有的过程本身就是随机的过程，物理现象中如粒子的衰变过程、粒子在介质中的输运过程...等。当然蒙特卡洛方法也可以借助慨率模型来解决不直接具有随机性的确定性问题。 (2) 确定性模拟方法。它是通过数值求解一个个的粒子运动方程来模拟整个系统的行为。如分子动力学（Molecular Dynamics）方法以及原胞自动机方法等等。 Why Monte Carlo（MC）? MC方法的起源 起源于思想起源于von Neumann（冯.诺依曼）等人在研究原子弹时对裂变材料的中子扩散问题的探讨。 目前，已经广泛的应用于社会科学，材料，物理，系统工程，科学管理，生物遗传等领域。可以说，有随机工程事件的领域，就可以应用Monte Carlo模拟。 MC的基本思想 直接蒙特卡洛模拟方法。求解问题本身就具有概率和统计性的情况，该方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行直接的抽样试验，然后计算其感兴趣的统计参数（计算机实验）。 间接蒙特卡洛模拟方法。人为地构造出一个合适的概率模型，依照该模型进行大量的统计实验，使它的某些统计参量正好是待求问题的解。 例：布冯(Buffon)投针实验 在平滑桌面上划一组相距为s的平行线，向此桌面随意地投掷长度l=s的细针，那末从针与平行线相交的概率就可以得到π的数值。 一些人进行了实验，其结果列于下表 ： 例：投点试验 例：求解定积分 定积分计算 MC思想总结 当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使得待求的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望值。然后进行模拟实验，即重复多次地模拟随机事件A或随机变量X。最后对随机实验结果进行统计平均，求出A出现的频数或X的平均值作为问题的近似解。 （间接MC） MC方法概述 为了得到具有一定精确度的近似解，所需随机试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。 MC方法随机理论的基础 MC方法随机理论的基础 大数法则 该定理指出，如果随机变量序列X1，X2，…，XN独立同分布，且具有有限非零的方差σ2 ，即 f(X)是X的分布密度函数。则 当N充分大时，有如下的近似式 其中α称为置信度，1－α称为置信水平。 这表明，不等式 近似地以概率 1－α成立，且误差收敛速度的阶为 。 通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为 上式中 与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出 。 下面给出几个常用的α与的数值： ? 关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值 来代替，在计算所求量的同时，可计算出 。 MC方法随机理论的基础 中心极限定理告诉我们，蒙特卡洛方法的误差与随机数的均方差和抽样模拟次数n有关。 为了减小误差，就应当选取最优的随机变量，使其方差最小。 在方差固定时，增加模拟次数可以有效地减小误差。如试验次数增加100倍，精度提高10倍。当然这样做就增加了计算的机时，提高了费用。 所以在考虑蒙特卡洛方法的精确度时，不能只是简单地减少方差和增加模拟次数，还要同时兼顾计算费用，即机时耗费。通常以方差和费用的乘积作为衡量方法优劣的标准。 蒙特卡罗方法的特点 优点 能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。 受几何条件限制小。 收敛速度与问题的维数无关。 具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。 误差容易确定。 程序结构简单，易于实现。 缺点 收敛速度慢。 误差具有概率性。 在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。 能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程 从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到