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§2.5 微分及其在近似计算中的应用
* 函数的微分 前面我们从变化率问题引出了导数概念,它是 微分学的一个重要概念。在工程技术中,还会遇到与导数密切相关的另一类问题,这就是当自变量有一个微小的增量时,要求计算函数的相应的增量。一般来说,计算函数增量的准确值是比较繁难的,所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分。 一、问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 二、微分的定义 定义 (微分的实质) 由定义知: 三、可微的条件 定理 这表明 不仅是比 高阶的无穷小,而且也是比 高阶的无穷小,因此 四、微分的几何意义 几何意义:(如图) M T ) P N 五、微分的求法 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 2. 函数和、差、积、商的微分法则 例1 解 例2 解 六、微分形式的不变性 结论: 微分形式的不变性 例3 解 例4 解 例5 解一 两边同时求微分得 解二 两边取对数得 两边对 x 求导,有 由上面的例子还可以看出,求导数与求微分的方法 在本质上并没有区别,因此把两者统称为微分法 七、微分在近似计算中的应用 1.计算函数的近似值 2.常用近似公式 证明 *
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