具有迷向S一曲率的指数度量.PDF

第30卷第7期 重庆大学学报(自然科学版) V01．30 No．7 2007年7月 Journal of Chongqing University(Natural Science Edition) Ju1．2007 文章编号：1000—582X(2007)07—0134—04 具有迷向S一曲率的指数度量 孙建凯 ，程新跃 (1．重庆大学数理学院，重庆 400030；2．重庆工学院数理学院，重庆 400050) 摘 要：研究了Finsler几何中一类特殊( ， )一度量一指数度量F=o／e 的 一曲率性质。笔者通过 把指数度量的 一曲率与其特殊 一曲率的表达式进行比较，采用代数方程公式运算的方法，分析方程 因式指数的变化，得到了指数度量具有迷向 一曲率的充要条件：指数度量具有迷向 一曲率当且仅当 它具有迷向平均Berwald曲率。此时，该度量的 一曲率为零，且是弱Berwald度量。结论表明：对于这 类特殊的( ， )一度量来说，它的曲率性质较简单，即它有迷向 一曲率等价于它有迷向平均Berwald 曲率，等价于它具有为零的 一曲率。 关键词：指数度量；S一曲率；迷向 一曲率；迷向平均Berwald曲率；( ， )一度量。 中图分类号：0186 文献标志码： 中起重要作用。例如，具有迷向 一曲率的Finsler度量 1 研究背景 F若具有标量flag曲率K=K( ，Y)，则它的flag曲率 ( ， )一度量是一类重要的有丰富几何性质的 可以表示成： Finsler度量，包括黎曼度量和Randers度量。在近来 K =3c y‘／F+ ， 十几年中Finsler几何取得了飞速的发展，各种曲率性 其中 ：= ( )是流形 上的标量函数H．5]，具有常 质和它们的意义已被广泛研究和理解。这在很大程度 flag曲率的Randers度量F一定具有常 ．曲率 一]，关 j二要归功与对( ， )一度量的研究。这是因为Finsler 于Randers度量 一曲率的研究可见文献[6，8—9]。 几何中涉及大量的复杂计算，而( ， )一度量的特殊 ( ， )一度量是比Randers度量更广泛的 类Finsler 性和可计算性，为Finsler几何的研究提供了很大的方 度量，目前关于( ， )一度量 一曲率的研究和一些 便。( ， )一度量在物理学和生物学方面也有很重要 ( ， )一度量具有迷向 一曲率的条件的研究有很大的 的应用¨ 。 进展 m]。 一 曲率是Finsler几何中一个非常重要的非黎曼 笔者重点研究了光滑流形上一类具有重要应用背 几何量，它是由沈忠民教授在文献[3]中把Bishop比 景的特殊( ， )一度量一指数度量的 一曲率性质，得 较定理推广到Finsler几何中时首次引进的，又可以称 到如下定理。 为平均协变导数。 一曲率反映了Finsler度量的distor- 定理1 对n维流形 上的一个指数度量F= tion沿测地线的变化率，而distortion是将黎曼度量从 ole ，s=fl／a，k≠0为常数，下列条件是等价的： Finsler度量中分离出来的重要几何量，即F是黎曼度 1)F具有迷向 一曲率，即存在 上的标量函数 量当且仅当它的distortion等于0，即 (Y)=0，因此它 c：=c( )，使得S=(I1,+1)cF； 的 一曲率消失。近来许多几何学家在 一曲率研究方 2)F具有迷向平均Berwald一曲率，即存在 上的 面给予了很大的关注，表明 一曲率