用反证法证明几何问题.docVIP

65yttrgoi用反证法证明几何专题 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。反证法的概念：论证方式，不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。“反设”，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 适用范围 “反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多”命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的命题都可考虑用反证法。 例1．已知：AB、CD是O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。OA＝OB，M是AB中点OM⊥AB　（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OMCD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的定理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。 例已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN＝（AD＋BC）。求证：ADBC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。在ABD中∵BM＝MA，BP＝PDMPAD，同理可证PNBC从而MP＋PN＝（AD＋BC）　　　　这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MNAD，MNBC，得ADBC与假设ADBC矛盾，于是M、P、N三点不共线。从而MP＋PN＞MN　由、得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）相矛盾，故假设ADBC不成立，所以ADBC。 。 证明：假设存在一个边长为1的凸六边形ABCDEF，其中每一条对角线之长均大于 , 如图：作 则 那么六边形的内角和大于 这与六边形的内角和等于 °矛盾 所以命题成立。 例5 求证： 凸多边形的锐角不能多于三个。 证明：凸多边形有一个特点， 内角和=（总内角和–2）×180° 假设内角数为n，其中锐角数为4，钝角数为n-4， 则有内角和=180°×(n-2)=锐角和+钝角和 即180°×（n-2）90×4+钝角和 即180°×（n-4）钝角和 注意到(n-4)为钝角数，所以钝角和应该小于180°×（n-4），与上式矛盾，故不成立。 对于锐角数大于4的情况，同理可证。 例6 求证：直线与圆最多只有两个交点。 证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C， M、N分别是弦AB、BC的中点。 ∵OA＝OB＝OC ∴在等腰△OAB和△OBC中 OM⊥AB，ON⊥BC 从而过O点有两条直线都垂直于l， 这是不可能的，故假设不能成立。 因此直线与圆最多只有两个交点。 五、在立体几何中的应用 例7 证明两条直线是异面直线 求证：分别和两条异面直线AB和CD同时相交的直线AC、BD是异面直线。 证明：假设AC和BD不是异面直线，则AC和BD在同一平面内，设这个平面为α，由，知，故。这与AB和CD是异面直线矛盾，于是假设不成立，