何涛空间角教案2.docVIP

第8课时　空间向量的应用(二)　空间角 山丹一中 何涛 2014.考纲要求 能够利用向量的方法，解决异面直线的夹角、线面角、面面角问题，体会向量法在立体几何中的应用． 在高考中，本部分知识是考查的重点内容之一，主要考查异面直线所成角、线面角和面面角的计算，属于中档题，综合性较强，与平行垂直联系较多.1.（2013年全国2）如图，直三棱柱中，，分别是，的中点。AB （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值。 2.（2014全国2）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点. （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC； （Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=， 求三棱锥E-ACD的体积. 知识点梳理 利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′a，b′b，则a′与b′所夹的叫做a与b所成的角． 范围：两异面直线所成角θ的取值范围是． 向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cosθ＝. (2)直线与平面所成的角 定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． 范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是． 向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝或cosθ＝. (3)二面角 二面角的取值范围是． 二面角的向量求法： ()若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图)． (ⅱ)设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)． ．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 例2　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BMPD于点M. (1)求证：AMPD； (2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值． 探究2　求直线和平面所成的角也有传统法和向量法两种．传统法关键是找斜线在平面内的射影，从而找出线面角；向量法则可建立坐标系，利用向量的运算求解．用向量法可避开找角的困难，但计算较繁，所以要注意计算上不要失误． 思考题2　(2013·课标全国)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，BAA1＝60°. (1)证明：ABA1C； (2)若平面ABC平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 例3　(2013·江西)如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DAB≌△DCB，EA＝EB＝AB＝1，PA＝，连接CE并延长交AD于F. (1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值． 探究3　(1)当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明快． (2)用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的． 4. 如图所示，ABCD是直角梯形，ABC＝90°，SA底面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求面SCD与面SBA所成二面角的余弦值．1．角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角． 2．用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握．其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便． 3．找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找(作)垂面，将其转化为平面角，或用向量求解，或解直角三角形． 4．二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂线定理法、面积射影法、向量法等，特别是对“无”棱(图中没有棱)的二面角，应先找出棱或借助平面法向量夹角求解． 1