【2017年整理】第五章 数值积分与微分new.ppt

第 5章 数值积分 1 机械求积 2 牛顿-柯特斯公式 3 龙贝格算法 4 高斯求积公式 5 数值微分 引言 依据微积分基本定理, 只要找到被积函数 的原函数 ， ， 便有牛顿-莱伯尼兹公式 由于大量的被积函数找不到用初等函数表示的原函数， 而实验测量或数值计算给出的通常是一张函数表，所以牛顿-莱伯尼兹公式往往不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。 数值求积的基本思想 依据积分中值定理， 就是说，底为 而高为 的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。 取 内若干个节点 处的高度 ，通过加权 平均的方法生成平均高度 ，这类求积公式称 机械求积公式： 式中 称为求积节点， 称为求积系数，亦称伴随节点的权。 代数精度的概念 数值求积方法是近似方法，为保证精度，自然希望所提供求积公式对于“尽可能多”的函数是准确的。 如果机械求积公式对 均能准确成立，但对 不准确，则称机械求积公式具有 次代数精度。 事实上，令求积公式对 准确成立，即得 可见，在求积公式节点给定的情况下，求积公式的构造问题本质上是个解线性方程组的代数问题。 插值型的求积公式 设已给 在节点 的函数值， 作插值多项式 其中 由于多项式的求积是容易的，令 这样得到的求积公式称为插值型的求积公式，其求积系数为 定理 机械求积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是它是插值型的。 牛顿－柯特斯公式 设分 为 等份，步长 ，取等分点 构造出的 插值型求积公式（其中 ） 称作 阶牛顿－柯特斯 公式。一阶和二阶牛顿－柯特斯公式 分别是 梯形公式 辛甫生公式 四阶牛顿－柯特斯公式，也称为柯特斯公式： 几种低阶求积公式的代数精度 阶的牛顿－柯特斯公式至少有 次代数精度，事实上，二阶的辛甫生公式与四阶的柯特斯公式在精度方面会获得 “额外” 的好处，它们分别有3 次和 5 次代数精度。 因此，在几种低阶的牛顿－柯特斯公式中，人们更感兴趣的是梯形公式（它最简单、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。 几种低阶求积公式的余项 利用线性插值的余项公式以及积分中值定理，我们可以得到梯形公式的余项： 利用埃尔米特插值的余项公式以及积分中值定理我们可以得到辛甫生公式的余项： 另外，我们可以得到如下柯特斯公式的积分余项： 复化求积公式 复化梯形公式有如下形式： 其余项为： 变步长求积法 变步长梯形求积法 变步长梯形求积法的基本过程 变步长梯形求积法的基本过程 变步长梯形求积法的基本过程 变步长求积法 算法——梯形求积法 算法源程序 梯形法的加速 梯形法的算法简单，但精度低，收敛的速度缓慢。如何提高收敛速度以节省计算量呢？ 由复化梯形公式的截断误差公式可得， 整理得， 由此可知， 这样导出的加速公式是辛甫生公式： 算法——辛卜生求积法 算法源程序 龙贝格算法 我们可以在步长逐步分半过程中将粗糙的积分值 逐步加工为精度较高的积分值 ： 或者说将收敛缓慢的梯形值序列 加工成收敛迅速的积分值序列 ，这种加速方法称为龙贝格算法。 龙贝格算法 算法——龙贝格求积法 算法源程序 高斯求积公式 不失一般性，设 ，考虑下列求积公式