【2017年整理】第二章 离散傅里叶变换及其快速算法(上).ppt

第二章 离散傅里叶变换及其快速算法;1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式，但是他未能给出所需的加权系数。 Jean-Baptiste-Joseph Fourier于1768年3月出生在法国的Auxerre，当他8岁时不幸成了一名孤儿。Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学界出名。 1798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的数学家和科学家，Fourier就是其中的一位， 回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官，就是在此期间，Fourier完成了其经典之作Theorie analytiquede la chaleur(热能数学原理)。在该著作中，他证明了任一周期函数都可以表示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为周期频率的整数倍。 ; 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 ;§2.1 离散傅里叶变换（DFT）;周期为N的正弦序列其基频成分为： K次谐波序列为：; 将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数，;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;k=r ,N=8;上式中[ ]部分显然只有当k=r时才有值为1,其他任意k值时均为零,所以有 或写为;时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。; 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为 ; DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知道它一个周期的内容（一个周期内信号的??化情况），其它的内容也就都知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因此周期序列与有限长序列有着本质的联系。;假设 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：;证:因为 及 都是以N为周期的函数，所以有;由于 与 对称的特点，同样可证明;证:;进一步可得;4）周期卷积 若 则 或 ;;;;;;;;证： 这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0~N-1），称为周期卷积。 例： 、 ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ，求周期卷积。 结果仍为周期序列，周期为 N =7。; 由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式， 若;§2.1.2 离散傅里叶变换（DFT）;周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系可描述为： 数学表示： RN(n)为矩形序列。 符号((n))N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。 ;Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.;例： 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。 因此 ;频域上的主值区间与主值序列：;再看周期序列的离散傅里叶级数变换（DFS）公式：; 长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有限长序列，