【2017年整理】15年高考真题——理科数学(广东卷).doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试广东卷 一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40 1．设集合，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 2．若复数(是虚数单位)（ ） （A） （B） （C） （D） 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 （A） （B） （C） （D） 4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A）1 （B） （C） （D） 5．平行于直线且与圆相切的直线的方程是 （A）或B）或 C）或 （D）或 若变量满足约束条件，则的最小值为 （A） （B）6 （C） （D）4 7．已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为A） （B） （C） （D） 8．若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值A）大于5 （B）等于5 （C）至多等于D）至多等于7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 （一）必做题（9～13题在的展开式中，的系数为在等差数列中，若，则=中，角所对应的边分别为，若，，，则12．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言（用数字作答） 13．随机变量服从二项分布，若，，则 （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一 14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则到直线的距离为________ 15．（几何证明选讲选做题）如图1，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为，，过圆心做的平行线，分别交和于点和点，则_____ 三．解答题：本大题共6小题，满分80分，解答需写出文字说明。证明过程和演算步骤 16．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知向量，，⑴若，求的值⑵若与的夹角为，求的值 17．（本小题满分13分）某工厂36名工人的年龄数据如下表。工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 40 10 36 19 27 28 34 2 44 11 31 20 43 29 39 3 40 12 38 21 41 30 43 4 41 13 39 22 37 31 38 5 33 14 43 23 34 32 42 6 40 15 45 24 42 33 53 7 45 16 39 25 37 34 37 8 42 17 38 26 44 35 49 9 43 18 36 27 42 36 39 ⑴用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据⑵计算中样本的平均值和方差⑶36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到％）？ 如图2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，点是边的中点，点分别在线段上，且，⑴证明：⑵求二面角的正切值⑶求直线与直线所成角的余弦值 19．（本小题满分14分）设，函数⑴求的单调区间⑵证明：在上仅有一个零点⑶若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点）证明： 20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点⑴求圆的圆心坐标⑵求线段的中点的轨迹的方程⑶是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由 21．（本小题满分14分）数列满足⑴求的值⑵求数列前项和⑶令，，证明：数列的前项和满足2015年普通高校招生全国统考广东卷解答 BD CBC 二．9．；10．10；1．；1．560；1．；1．；1．816．⑴由题，因，故，而，。； ⑵由⑴知，故。又，，得 17．⑴由题可知所抽样本编号是一个首项为公差为等差数列，故其样本编号依次为对应样本的年龄数据依次为 ⑵由⑴可得样本的均值为方差为 ⑶由⑵知故。因此年龄在与之间共有，所占百分比为 18．⑴因且为的中点，。又平面平面，且平面平面，平面，平面又平面，； ⑵因是矩形，。又平面平面，且平面平面，平面，平面又、平面， ，，即为二面角的平面角在中，，，，，即二面角的正切值为 ⑶连，，故，而为直线与直线所成角或其补角在中，，，。 因此直线与直线所成角的余弦值为 19．⑴依题，在上是单调增函数 ⑵因，故，在有零点。又⑴知在单调增在一个零点⑶令得因，故，。又，。，则。得，得，函数单调递减，在单调增而即成立。因此所以解得得