计算方法3.3–3.5复化求积公式.ppt

② Gauss-Chebyshev求积公式： 其中 于是 上式的分子： 于是 上式的分母： 第三节 复化求积公式 背景：由于 的Newton-Cotes公式不稳定，一般不宜使用；而在较大的积分区间上采用低阶的Newton-Cotes公式进行计算，精度又比较低。 改进： 把积分区间分成若干相等的子区间（分段），在每个子区间上使用低阶求积公式，最后把结果加起来。 定步长积分法 称 为复化梯形公式，下标n表示将区间n等分。 称 为复化Simpson公式，下标n表示将区间n等分。 类似地，我们有复化Simpson公式的余项： （N=2，三点插值） 3 复化Cotes公式 （N=4，五点插值） （梯形公式、Simpson公式、Cotes公式） 例3.1 解：由复化梯形公式的截断误差，有 . . . . . . . 第4节 变步长复化求积法 逐次分半算法 变步长积分法 . 绿 蓝 红（由粗到细逐次减半） 误差的这种估计法称为事后估计（或后天估计） . . . . . 第5节 龙贝格（Romberg）求积法-逐次分半加速收敛算法 提出问题：能否通过求积公式的截断误差，构造出一个新的序列，它逼近I的阶更高？或者如何提高收敛速度以节省计算量？ . . “修正”的想法！！ 这说明用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式 复化梯形公式 复化辛普森公式 . . 复化Simpson公式 复化Cotes公式 Romberg公式 . 1）同一行每个公式都是节点数目相同的求积公式； 2）同一列求积公式的代数精度相同； 3）表中对角线上相邻元素之差小于允许误差时，停止计算。 加速公式 在变步长的过程中运用加速公式，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn 、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn . 第6节 高斯（Gauss）求积公式 在构造Newton-Cotes公式时，限定用积分区间[a,b]的等分点作为求积节点(等距划分)，这样做虽简化了问题的处理过程，但同时也限制了精度。 在节点数目固定为n+1的条件下，能否通过适当选取求积节点xk的位置以及相应的求积系数Ak，使求积公式 具有尽可能高(最高)的代数精度(记为,m）？ 提出问题： 1) 2) 为了使问题具有一般性，我们主要考虑如下带权积分： 问 (1) 最高可达多少？ (2) 如何构造这样的公式？ 插值型求积公式 (*) 求积公式含有2n+2个待定参数xk、Ak(k＝0,1,…,n)．若用待定系数法确定它们, 则最好需要2n+2个独立的条件, 根据代数精度的定义, 令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 ，代入上面求积公式, 得到非线性方程组 若解存在(? 可证), 求解. 从而求积公式的代数精度从n次提高到2n+1次. 这类求积公式称为高斯（Gauss）求积公式. 将节点 x0 … xn 以及系数 A0 … An 都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1 代入上面公式求解（解存在！），得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。 定义6.1. 分析上面的公式，易见 问题6. 方法一 令公式对于f (x) = 1, x, x2, x3 ，准确成立，则有 两点Gauss公式 第一步 第二步 1） 3） 2） 4） 1） 2） 3） 4） 代入1）、2） 第三步 称上面的公式为两点Gauss求积公式。 注释：从上面的例子，可看到求解非线性方程组较复杂，通常n≥2就很难求解．故一般不通过解方程来求待定 系数xk 及 Ak (k＝0,1,… , n)． 从分析高斯点的特性着手，来构造Gauss 求积公式. 怎么办？ 即 方法二 由于前面的求积公式是插值型的，故至少具有1次代数精度，从而有 另一方面，易见 于是 故要使 只需 据正交多项式的性质可知 从几何直观上看，是 寻找两点，使通过该 两点的直线在[-1,1]上 围成的面积与f(x)在 该区间上围成的面积 相等！！ 解之，得 上面所得到的求积公式称为Gauss-Legendre求积公式. 一般积分区间[a,b]上的两点Gauss-Legendre求积公式: 例：用两点高斯公式求 的近似值。 解： 定理6.1.节点xk(k=0,1,…,n)为Gauss点 一、一般的高斯(Gauss)求积公式 关键在于求高斯点.