经济数学–向量及其线性运算.ppt

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经济数学–向量及其线性运算

一、向量及其几何表示 二、向量的坐标表示 三、向量的模(modulus)与方向角 四、向量的线性运算 五、向量的分向量表示式 六、小结 经 济 数 学 第四节 向量及其线性运算 一、向量及其几何表示 二、向量的坐标表示 三、向量的模与方向角 四、向量的线性运算 五、向量的分向量表示式 六、小结 思考题 向量(vector): 既有大小又有方向的量. 向量表示: 或 向径: 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量 . 自由向量: 不考虑起点、终点位置的向量. 相等向量: 大小相等且方向相同的向量. 负向量: 大小相等但方向相反的向量,记为 . 空间两向量的夹角的概念: 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 向量在x轴上的投影 向量在y轴上的投影 向量在z轴上的投影 由图分析可知 通常用来表示向量的方向. 表示向量的长度 向量的坐标表达式: 特殊地: 模长为1的向量,记为 | | 向量的模(大小): 单位向量(unit vector) : 或 或 非零向量 的方向角(direction angle): 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角. 当 时, 向量的方向余弦 方向余弦的特征 特殊地 单位向量与方向余弦的关系为: 解 1. 向量的加法 (平行四边形法则) 特殊地:若 ‖ 分为同向和反向 (平行四边形法则有时也称为三角形法则) 向量的加法符合下列运算规律: (1)交换律: (2)结合律: (3) (commutativity) (associativity) 注:向量的减法 平行四边形法则 三角形法则 向量加减法的坐标表达式 二、向量与数的乘法(数乘) 数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律: (2)分配律: 向量与数的乘法的坐标表达式 特殊地,一向量与其单位向量的关系为 两个向量的平行关系 定理 证明 充分性显然; 必要性 ‖ 两式相减,得 解 设 为直线上的点, 由题意知: 表示向量在x、y、z轴上的投影. 解 所求向量有两个,一个与 同向,一个反向 或 解 向量的坐标 向量的模与方向角 (注意分向量与向量的坐标的区别) 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 (注意与标量的区别) (三角形法则) (注意数乘后的方向) 向量的分向量表示式

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