经典控制理论–第八章new.ppt

在频率特性一章中，我们已经看到，对于线性时不变系统，当输入为正弦函数时输出也是同频率的正弦函数，输出和输入只有幅值和相位的差别。对于非线性系统，当输入为正弦函数时输出是同频率的非正弦函数，也就是说输出中含有高次谐波，可见线性系统的频率法不适用于非线性系统。 现在，我们试图将线性系统中的频率法改进后用于非线性系统。如果系统线性动态部分具有良好的低通特性，那么系统信号中的高次谐波就被大大衰减，可以用基波来近似，这是非线性特性在频域的线性化。 1 描述函数定义 为了将频率法推广到非线性系统,我们首先定义静态非线性环节的描述函数, 设非线性环节y=f (x) 的输入为正弦函数： 式中，X是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出 分解为富氏级数： 式中 如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0，这时输出的基波分量是： 如果函数 y=f(x) 是已知的，X是一个待定常数，那么上面式子求出的 只与X有关，记作 。描述函数定义为输出的基波分量与输入正弦函数的复数比： 显然，描述函数是X的函数，描述函数可以理解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增益——这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇对称的，那么： 下面用几个例子说明描述函数是如何计算出来的。 1）死区特性 考虑图 8-3 （a）所示死区特性，当输入为正弦函数 时，输出 如图 8-3（b）所示，因为图 8-3 （a）的死区特性是单值奇对称的，所以 ， 2 描述函数的计算 并且 注意到 所以 所以 图8-3 求死区特性的描述函数 2）继电特性 图8-4 求继电特性的描述函数 考虑图 8- 4（a）带滞环的继电特性，当输入为 时，输出y(t)如图 8-4（b）所示，并且 3）一般非线性 描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子: 因为它是单值、奇对称的， ，先求出y(t)： 所以 概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知的输入x(t)=Xsinωt和非线性特性y=f(x)求出输出y(t) ，然后由积分式求出 ，求出N(X) 。主要工作量和技巧在积分。 此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号，其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似求出 ，则可换算求出描述函数。 图8-5 描述函数表示的非线性系统 考虑图8-5所示的非线性系统，假设线性动态部分具有良好的低通特性，那么静态非线性特性可以用描述函数N(X)来表示。为了引入频率特性分析法，我们还假设G(X)是最小相位环节。 3 非线性系统的描述函数分析 1）闭环系统稳定性 前几章已介绍了分析线性时不变系统稳定性的根轨迹法和频率特性法。如果频率特性推广到图8-5 所示的非线性系统，则其闭环系统频率特性为： 特征方程为 为了类比，假设静态环节退化为线性环节y=kx，即N(X)=k（常数）。因为G(s)是最小相位环节，根据线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的－1／k点。 现在将上述结论推广到N(X)为非线性函数的情况。因为X连续变化时N(X)是复平面上的一根曲线，所以闭环系统是否稳定取决于曲线G(jω)是否包围－1／N(X)曲线。具体讲就是：在复平面上，如果曲线G(jω)不包围－1／N(X)曲线，那么闭环系统稳定；如果G(jω)曲线包围－1／N(X)曲线，那么闭环系统不稳定；如果曲线G(jω)与曲线－1／N(X)相交，那么闭环系统出现自振荡（极限环）。为了方便，我们将曲线－1／N(X)称为‘负倒描述函数曲线’。 2）极限环的稳定性 正如相平面法中所讨论的，极限环本身存在一个稳定性问题，极限环的稳定性也可以用描述函数来分析。参见图8-6 8-6 极限环的稳定性 图中A、B两点都出现极限环，先看A点：如果因某种干扰使振荡幅值略有减小，比如工作点移到D，D点不被G(jω)曲线包围，这时闭环系统应趋向稳定——振荡幅值应逐渐减小到零（停振）；反之，如果因某种干扰使振荡幅值略有增大，比如工作点移到C，C点被G(jω)曲线包围，这时闭环系统应趋向不稳定——振荡幅值应逐渐增大，工作点移到Ｆ、B．．．；可见A点属不稳定极限环。 再看B点：