组合数学3–3常系数线性非齐次递推联系.ppt

3.3常系数线性非其次递推关系 3.3.1 非其次递推关系 3.3.2 举例 3.3.1 非其次递推关系 常系数线性非其次递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k ＋F(n) (3.3.1) 其中c1,c2,…,ck是实数常数，ck≠0； F(n)是只依赖于n且不恒为0的函数。 相伴的齐次递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k (3.3.2) 3.3.1 非其次递推关系 定理3.3.1 若an＝x(n)为递推关系(3.3.1)相伴的齐次递推关系(3.3.2)的通解， an＝y(n)为递推关系(3.3.1)的一个特解，则an＝x(n) ＋y(n)为递推关系(3.3.1)的通解。 3.3.1 非其次递推关系 定理3.3.2 设常系数线性非齐次递推关 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k ＋F(n) 其中c1,c2,…,ck是实数常数，ck≠0； 且F(n)＝(btnt＋bt-1nt-1＋…＋b1n ＋b0)Sn 其中b1,b2,…,bt和S是实数常数。 当S是相伴的线性齐次递推关系的特征方程的m(m≥0)重根时，存在一个下述形式的特解： an＝nm(ptnt＋pt-1nt-1＋…＋p1n＋p0)Sn 其中p1,p2,…,pt为待定系数。 3.3.2 举例 例3.3.1 解递归 解(1)相伴齐次递推关系an＝an-1 (☆) (☆)的特征方程x－1＝0 (☆)的特征根 x＝1 (☆)的通解an＝a×1n＝a(a为任意常数) 3.3.2 举例 (2)由于F(n)＝n＝n×1n且s＝1是(☆)的1重 根，所以得(＊)的一个特解形如 an＝n1(p1n＋p0)1n(p1,p0为待定系数) 代入a1＝1，a2＝3得 3.3.2 举例 故得(＊)的一个特解 an＝n1( n＋ )1n ＝ n2＋ n (3) (＊)的通解 an＝a＋ n2＋ n (a为任意常数) 代入a1＝1得a＝0 (4)求得递归的解an＝ n2＋ n 3.3.2 举例 例3.3.2 解Hanoi问题的递归，即 解(1)相伴齐次递推关系an＝2an-1 (☆) (☆)的特征方程x－2＝0 (☆)的特征根 x＝2 (☆)的通解an＝a×2n(a为任意常数) 3.3.2 举例 (2)由于F(n)＝1＝1×1n且s＝1是(☆)的0重 根，所以得(＊)的一个特解形如 an＝n0×p×1n ＝p(p为待定系数) 代入(＊)得p＝－1 故得(＊)的一个特解an＝－1 3.3.2 举例 (3) (＊)的通解 an＝a×2n－1(a为任意常数) 代入a1＝1得a＝1 (4)求得递归的解an＝2n－1 3.3.2 举例 定理3.3.3若an＝x(n)和an＝y(n)分别是递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F1(n) an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F2(n) 的解，其中c1,c2,…,ck(ck≠0)是实数常数，F1(n)与F1(n)是只依赖于n且不恒为0的函数， 则an＝x(n)＋y(n)为递推关系 an＝c1an-1＋c2an-2＋…＋ckan-k＋F1(n)＋F2(n) 的解 3.3.2 举例 例3.3.3 解递归 解(1)相伴齐次递推关系an＝3an-1 (☆) (☆)的特征方程x－3＝0 (☆)的特征根 x＝3 (☆)的通解an＝a×3n(a为任意常数) 3.3.2 举例 (2)分别求an＝3an-1＋3×2n (◇) an＝3an-1－4n (△)的一个特解 (◇)的一个特解形如b×2n (b为常数) 将其代入(◇)得b＝－6 故求得(◇)的一个特解an＝－6×2n 类似求得(△)的一个特解an＝2n＋3 故求得(＊)的一个特解an ＝－6×2n＋2n＋3 3.3.2 举例 (3) (＊)的通解 an＝a×3n－6×2n＋2n＋3(a为任意常数) (4)代入a1＝8得a＝5。故求得递归的解 an＝5×3n－6×2n＋2n＋3 * * *