线性方程组的发展﹒人物和应用演示文稿.ppt

线性方程组的现代应用 * 线性方程组的发展、人物和应用 线性方程组的研究起源于古代中国，在中国数学经典著作《九章算术》一书中就有了线性方程组的介绍和研究，有关解方程组的理论已经很完整。 九章算术(约公元263年 ) 第八（一）为：　　今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？ 方程一词出现在中国早期的数学专著《九章算术》中，其「卷第八」即名「方程」。 如图： 答曰：　　上禾一秉，九斗、四分斗之一，　　中禾一秉，四斗、四分斗之一，　　下禾一秉，二斗、四分斗之三。 其实这仅仅是三元一次方程的简单应用： 设：上禾一秉x斗，　　 中禾一秉y斗　　 下禾一秉z斗 由题意得： 3x+2y+z=39 2x+3y+z=34 X+2y+3z=26 (2)对线性方程组解法的改进　　《九章算术》中用直除法解线性方程组，比较麻烦．刘徽在方程章的注释中，对直除法加以改进，创立了互乘相消法．例如方程组　　　　 刘徽是这样解的： (1)×2，(2)×5，得　　　　 (4)-(3)，得　　21y＝20(下略)．　　显然，这种方法与现代加减消元法一致，不过那时用的是筹算．刘徽认为，这种方法可以推广到多元，“以小推大，虽四、五行不异也．”他还进一步指出，“相消”时要看两方程首项系数的同异，同则相减，异则相加．刘徽的工作，大大减化了线性方程组解法． 方程理论的初步总结　　刘徽在深入研究《九章算术》方程章的基础上，提出了比较系统的方程理论．刘徽所谓“程”是程式或关系式的意思，相当于现在的方程，而“方程”则相当于现在的方程组．他说：“二物者再程，三物者三程，皆如物数程之．并列为行，故谓之方程．”这就是说：“有两个所求之物，需列两个程；有三个所求之物，需列三个程．程的个数必须与所求物的个数一致．诸程并列，恰成一方形，所以叫方程．”这里的“物”，实质上是未知数，只是当时尚未抽象出未知数的明确概念．定义中的“皆如物数程之”是十分重要的，它与刘徽提出的另一原则“行之左右无所同存”，共同构成了方程组有唯一组解的条件． 若译成现代数学语言，这两条即：方程个数必须与未知数个数一致，任意两个方程的系数不能相同或成比例． 刘徽还认识到，当方程组中方程的个数少于所求物个数时，方程组的解不唯一；如果是齐次方程组，则方程组的解可以成比例地扩大或缩小，即“举率以言之”．　　 公元1247年，秦九韶完成了《数书九章》一书，成为当时中国数学的最高峰。在该书中，秦九韶将《九章算术》中解方程组的“直除法”改进为“互乘法”，便线性方程组理论又增加了新内容,至少用初等方法解线性方程组理论已由我国数学家基本创立完成。 大约1678年，德国数学家莱布尼兹首次开始线性方程组在西方的研究。1667年，莱布尼茨发表了他的第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学的才华，后来的一系列工作使他成为数理逻辑的创始人。 在17世纪末，莱布尼兹研究线性方程组的解法时，开始使用指标数的系统集合来表示方程组的系数，并得到现在称为结式的一个行列式。大约在1729年，马克劳林开始用行列式的方法解含2-4个未知量的线线性方程组，还使用了所谓的克莱姆法则，克莱姆在1750年把这个法则发表出来。 （其实创新需要想象力，当初中生在做二元一次方程的时候无聊的把系数拿出来组合，他就会发现只要在这些数字之间换算就可以解开这个方程，因为这和方程本身的未知数并没有关系，不论它是x，或y，或其他什么，都不影响答案，推而广之，是否对3元 4元 甚至n元也成立呢？我想当时的科学家就这么无聊中创时代的吧。） 1750年，克拉默在他的代表作 《线性代数分析导言》中，创立了克拉默法则，用它解含有5个末知量5个方程的线性方程组。 克拉默法则： 假若有n个未知数，n个方程组成的方程组： 　　a11X1+a12X2+．．．+a1nXn = b1, 　　a21X1+a22X2+．．．+a2nXn = b2, 　　．．．．．． 　　an1X1+an2X2+．．．+annXn = bn. 或者写成矩阵形式为Ax=b,其中A为n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。 　　而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|,其中Ai〔i = 1，2，……，n〕是矩阵A中第i列的a 1i，a 2i，……a ni （即第i列）依次换成b1，b2，……bn所得的矩阵。 　　克莱姆法则不仅仅适用于实数域，