线性代数非齐次方程求解3–4.ppt

1. AX=0 解的判定条件 2. 解的性质（解向量） 定理1 设R(A) = r n, 则AX = 0有基础解系且所含向量个数为n - r, 即dimW = n - r, 这里n为方程组未知数个数.（具体举例说明） 例1 求方程组的基础解系 (2) 得同解方程组 例1 求方程组的通解 (2) 得同解方程组 例2 解 第二章 2.5 返回 返回 3.4 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组 二、非齐次线性方程组 返回 一、齐次线性方程组 即 AX = 0 平凡解：X = 0(零解) 设 A =(?1, ?2, …, ?n), 则下列命题等价： 1o ?1, ?2, …, ?n线性相关; 2o AX = 0有非零解; （1）若R(A) n , 则AX=0有非零解； （2）若R(A)＝n , 则AX=0只有零解. 注：若A为方阵，则 （1）若det(A) = 0, 则AX=0有非零解； （2）若det(A) ≠ 0, 则AX=0只有零解. （1）AX = 0 的两个解向量的和仍为AX = 0的解. （2）AX = 0 的一个解向量的常数倍仍为AX = 0的解. （3）AX = 0 的解向量的线性组合仍为AX = 0的解. W ={X?Rn | AX = 0} 为Rn的子空间 （1）定义：W 的一组基. 1o ?1, ?2, …, ?s 线性无关; 则称?1, ?2, …, ?s为AX = 0 的一个基础解系. 2o AX = 0的任一解向量均可由?1, ?2, …, ?s 线性表出 3. 解空间 4. 基础解系（最大无关组） （2）构成条件： （3）求法（含在证明中）： 解: (x3, x4为自由未知量) (3) 求基础解系（对自由未知量取值） （求得两个解） （证明这样的解构成基础解系） 设?1, ?2, …, ?n - r 为AX = 0 的一个基解系，则 ? AX = 0 的解?，  ? = k1?1+ k2?2+ …+ kn-r?n-r , k1, k2, …, kn-r ?R. （1） AX = 0 的基解系一般不惟一，但其任一基解系中所含向量个数必为 n (未知数个数) - R(A). AX = 0 的 通解 （2） 若AX = 0有非零解，则必有无穷多个解. 5. 通解 注： 6. AX = 0的解法（四步） （2）写出同解方程组（基本未知量、自由未知量） （3）求基础解系（对自由未知量取值） （4）写出通解 解 (x2, x4为自由未知量) (3) 基础解系为 (4) 通解为 解 r(A) =3 = n, 只有零解 X = 0 例3 解 解 得同解方程组 (x3为自由未知量) 基础解系为 方程组通解为 例4 证明：与AX = 0基础解系等价的线性无关的向量组也是该方程组的基础解系. 证 两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等. 设?1, ?2, …, ?s 是AX = 0基础解系， ?1, ?2, …, ?s与之等价. ?1, ?2, …, ?s可由?1, ?2, …, ?s 线性表出，所以是AX = 0的解； AX = 0的任一解X 可由?1, ?2, …, ?s 线性表出， 故， ?1, ?2, …, ?s 是AX = 0的基础解系. 又?1, ?2, …, ?s可由?1, ?2, …, ?s线性表出，所以X 可由?1, ?2, …, ?s 线性表出； 例5 设n阶矩阵A, B满足AB = O, 证明： R(A)+R(B)≤ n. 证 设 B = (b1, …, bn), 则 AB = A(b1, …, bn) = (A b1 , …, Abn) =O, A bi = 0, i = 1, …, n. bi ( i = 1, …, n)为AX = 0的解，所以可由基础解系?1, ?2, …, ?n-r(r = R(A))线性表出. 所以, R( B) =秩 (b1, …, bn) ≤秩(?1, ?2, …, ?n-r)= n - R(A). 即 R(A)+R(B)≤ n. 例5 设A为n阶矩阵(n≥2)，证明 证 ①若R(A)=n: ② R(A) n-1: detA≠0， A中所有n-1阶子式均为零， 二、非齐次线性方程组 即 AX = b 设 A =(?1, ?2, …, ?n), 即 x1?1 + x2?2 + … +xn?n = b, AX = b 有解 ? b可由?1,