线性代数schmidt正交化方程组求解﹒do.ppt

? 1. 两直线的相对位置 [A,D] = A1 B1 C1 ?D1 A2 B2 C2 ?D2 A3 B3 C3 ?D3 A4 B4 C4 ?D4 . 重 合 相 交 平 行 异 面 无穷多解 唯一解 无 解 位置关系 Ax=D 秩 无 解 r(A)=r(A,D) =2 r(A)=r(A,D) =3 r(A)=2, r(A,D)=3 r(A)=3, r(A,D)=4 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 有其它判断方法 例7. 当参数k取什么值时， 直线 L1 : = = y-1 -3 x-1 2 z-4 -4 L2 : = = y+1 -1 x-1 2 z-1 k 相交？ L1 L2 · · P1 P2 s1 Q2 Q1 s2 Q′2 注：改例子在第三章出现过。 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 ? 2. 三平面的相对位置 ?1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ?2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ?3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0 记A = A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 , [A,D] = A1 B1 C1 ?D1 A2 B2 C2 ?D2 A3 B3 C3 ?D3 . D = ?D1 ?D2 ?D3 . 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 ? 重 合 交于一线 交于一点 无交点 无穷多解 位置关系 Ax=D 秩 无 解 r(A)=r(A,D) =1 r(A)=r(A,D) =2 r(A)=r(A,D) =3 r(A)+1= r(A,D) 2. 三平面的相对位置 [A,D] = A1 B1 C1 ?D1 A2 B2 C2 ?D2 A3 B3 C3 ?D3 . 唯一解 无穷多解 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 例8 讨论下列三个平面的相对位置. ?1 : x+y+bz=3; ?2 : 2x+(a+1)y+(b+1)z =7; ?3 : (1-a)y + (2b-1)z =0. 其中，a, b 是参数. 第四章 n维向量 §4.5 方程组解的结构 课后注释：一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在剩下的范围内，a,b 是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系. ? 第四章 n维向量 §4.6 最小二乘解 §4.6 线性方程组的最小二乘解 大东股份公司股票最近十天的收市价如下表所示 1 2 3 4 5 6 7 18.5 19.6 20.3 20.5 19.8 20.6 21.5 假定天数 x与股票价格 y 服从三次关系 y = ax3+bx2+cx+d 将上述数据代入假定的方程中，得到七个以 a,b,c,d为未知数的方程组, 其未必有解！ x y · · · · · · · y = ax3+bx2+cx+d 第四章 n维向量 §4.6 最小二乘解 Ax=b 没有解，即 Ax-b=? 没有解 寻求最佳近似解x0，使得： ||Ax0 – b || = min ||Ax – b || x ∈ Rn 即寻找x0使得 || Ax0 – b || = min ||a – b || a ∈R(A) b ? 假定As×n 第四章 n维向量 §4.6 最小二乘解 第四章 n维向量 定理 4.16 假设V是Rs的子空间，b ∈ Rs , ? ∈ V , 则 || ? - b||= min || a – b || 当且仅当 a ∈V ? - b 与 V 中每个向量都正交. b ? V §4.6 最小二乘解 Ax=b 没有解，即 Ax-b=? 没有解 寻求最佳近似解x0，使得： ||Ax0 – b || = min ||Ax – b || x ∈ Rn 即寻找x0 使得 || Ax0 – b || = min ||a – b || a ∈R(A) b ? R(A) 第四章 n维向量 §4.6 最小二乘解 即寻找x0 使得 || Ax0 – b || = mi