算法的案例–辗转相除法.ppt

* * 算 法 案 例 第一课时 1. 回顾算法的三种表示方法： （1）、自然语言（算法步骤） （2）、程序框图 （3）、程序语言 （三种逻辑结构） （五种基本语句） 复习引入 2. 思考： 小学学过的求两个数的最大公约数的方法？ 先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来. 例：求下面两个正整数的最大公约数： （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 25 （1） 5 5 35 7 49 （2） 7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5 所以，49和63的最大公约数为7 思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？ 例：如何算出8251和6105的最大公约数？ 新课讲解： 一、辗转相除法（欧几里得算法） 1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 思考1：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？ S1：用大数除以小数 S2：除数变成被除数，余数变成除数 S3：重复S1，直到余数为0 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 m = n × q ＋ r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？ (1)、算法步骤： 第一步：输入两个正整数m,n(mn). 第二步：计算m除以n所得的余数r. 第三步：m=n,n=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于m； 否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m. (2)、程序框图： 开始 输入m,n r=m MOD n m=n r=0? 是 否 n=r 输出m 结束 (3)、程序： INPUT “m,n=“;m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 二、更相减损术 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。 （1）、《九章算术》中的更相减损术： 1、背景介绍： （2）、现代数学中的更相减损术： 2、定义： 所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。 例: 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减 98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝21 21－7＝21 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7 3、方法： 1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数． 练习： 思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。 2、求324、243、135这三个数的最大公约数。 思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。 (1)、算法步骤 第一步：输入两个正整数a,b(ab); 第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步； 第三步：把a-b的差赋予r; 第四步：如果br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步； 第五步：输出最大公约数