必修二垂直证明常见模型和方法.doc

垂直证明题常见模型及方法 证明空间线面垂直需注意以下几点： ①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。 ②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。 ③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。 垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直； 基础篇 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型） 等腰（等边）三角形中的中线 菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直角。 例：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证： 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD中，求证 变式1 如图，在四棱锥中，底面是矩形已知． 证明：； 的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△AED,△DCF分别沿折起，使两点重合于. 求证:； 变式3如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 o证明：AB⊥PC 类型二：线面垂直证明 方法 利用线面垂直的判断定理 例2：在正方体中，O为底面ABCD的中心，E为,求证： 变式1：在正方体中，,求证： 变式2：如图：直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°.E为BB1的中点，D点在AB上且DE=. 求证：CD⊥平面A1ABB1； 变式3：如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，求证：平面BCD； 中， ，，平面．，，， 求证：平面 利用面面垂直的性质定理 例3：在三棱锥P-ABC中，,，。 方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。 变式1, 在四棱锥，底面ABCD是正方形，侧面PAB是等腰三角形，且,求证： 类型3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直) 例1 如图，已知平面，平面，△为等边三角形， ，为的中点. (1) 求证：平面； (2) 求证：平面平面； 例2 如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点． （1）证明； （2）证明平面； 变式1已知直四棱柱ABCD—A′B′C′D′的底面是菱形，，E、F分别是棱CC′与BB′上的点，且EC=BC=2FB=2． （1）求证：平面AEF⊥平面AA′C′C； 举一反三 1.设M表示平面，a、b表示直线，给出下列四个命题： ① ② ③b∥M ④b⊥M. 其中正确的命题是 ( ) A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②④ 2.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P.那么，在四面体P—DEF中，必有 ( ) A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF C.PM⊥平面DEF D.PF⊥平面DEF 4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是 ( ) A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交 B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直 C.过a一定可以作一个平面与b垂直 D.过a一定可以作一个平面与b平行 5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那么必有 ( ) A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ 6.AB是圆的直径，C是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，则P到AB的距离为 ( ) A.1 B.2 C. D. 7.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d是异面直线a、b的公垂线，平面α、β满足a