平面直角坐标系中的距离公式及中点公式.doc

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式 【教学目标培养学生勇于发现、勇于探索的精神合作交流等良好品质．教学重点 平面直角坐标系中的距离公式、教学难点教学方法节课教学过程． 师：上节我们学习了数轴上两点的距离公式与中点公式．那么在平面直角坐标系内，已知两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求这两点的距离？如何计算这两点的对称中心的坐标？ 提出问题，激发学生的学生兴趣． 新 课 新 课 新 课 新 课 1. 距离公式 探究一 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 过A，B分别向x轴、y轴作垂线AA1，AA2和BB1，BB2，垂足分别为A1，A2，B1，B2，其中直线BB1和AA2相交于点C． 两点的距离公式 |AB|＝． 探究二 求两点之间的距离的计算步骤： S1　给两点的坐标赋值 x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？ S2　计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即 dx＝x2－x1，dy＝y2－y1； S3　计算d＝； S4　给出两点的距离d． 例1　已知A(2，－4)，B(－2，3)，求|AB|． 解 因为x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3，所以 dx＝x2－x1＝－2－2＝－4， dy＝y2－y1＝3－(－4)＝7． 因此 |AB|＝ ＝ ＝． 练习一 求两点之间的距离： （1）A(6，2)，B(－2，5)； （2）C(2，－4)，D(7，2)． 2. 中点公式 探究三 如图所示，若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么怎么求它们的对称中心的坐标？ 设M(x，y)是A，B的对称中心，即线段AB的中点．过A，B，M分别向x轴，y轴作垂线，AA1，AA2，BB1，BB2，MM1，MM2，垂足分别是A1，A2，B1，B2，M1，M2． 在平面直角坐标系内，两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点M(x，y)的坐标满足 x＝，y＝． 例2　求证：任意一点P(x，y)与点P?(－x，－y)关于坐标原点成中心对称． 证明 设P与P?的对称中心为(x0，y0)，则 x0＝＝0， y0＝＝0． 所以坐标原点为P与P′的对称中心． 练习二 求下列各点关于坐标原点的对称点： A(2，3)， B(－3，5)， C(－2，－4)，D(3，－5)． 例3　已知坐标平面内的任意一点P(a，b)，分别求它关于x轴的对称点P′，关于y轴的对称点P′′的坐标． 练习三 求下列点关于x轴和y轴的对称点坐标： A(2，3)， B(－3，5)， C(－2，－4)，D(3，－5)． 例4　已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－3，0)，B(2，－2)，C(5，2)，求顶点D的坐标． 解 因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．设点D的坐标为(x，y)，则 解得 所以顶点D的坐标为(0，4)． 练习四 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，求顶点D的坐标． 教师提出探究问题，学生根据已有的知识探究问题的解： （1）以上四个垂足的坐标分别是多少？ （2）|AC|与|A1B1|关系如何？如何求|A1B1|？ （3）|BC|等于多少？ （4）在直角三角形ABC中，如何求|AB|？ （5）你能表示出|AB|吗？ 教师在学生探究的基础上，投影距离公式，并让学生记忆． 师：你能说出求平面上两点间距离的步骤吗？ 教师引导学生探究依据公式求两点距离的步骤． 教师引导学生结合求平面上两点间的距离的步骤解答． 学生练习，教师巡视指导． 教师提出要探究的问题，学生解答以下问题： （1）你能说出垂足A1，A2，B1，B2，M1，M2的坐标吗？ （2）点M是AB中点吗？M1是A1，B1的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？ （3）M2是A2，B2的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？ （4）你能写出点M的坐标吗？ 教师投影结论，学生理解掌握． 师：例2中，点P与P′的对称中心是P与P′的中点吗？坐标怎么求？是多少？ 教师强调本例题的结论． 学生抢答，教师点评． 师：（1）如果点P与P′关于x轴对称，PP′与x轴垂直吗？P′的横坐标是多少？ （2）PP′与x轴的交点M是线段PP′的中点吗？M点的纵坐标是多少？ （3）你能求出P′的纵坐标吗？怎么求的？ （4）由以上分析，点P′的坐标是多少？ （5）你能求