平面弯曲梁的强度及刚度计算.doc

第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算 §8-1 纯弯曲时横截面的正应力 一．纯弯曲试验： 纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。 剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。 　　为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象： 横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角度纵向线（包括轴线）都变成了弧线梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉伸区则变窄了些。根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设： 平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴转过了一个微小的角度。 单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于单向受拉或单向受压状态。 ? 　　可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。 　图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为：?由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律代入上式，得： ?y=0，所以正应力也为零。 ? 　　三．梁的正应力计算： ? 在梁的横截面上任取一微面积dA，作用在这微面积上的微内力为σdA，在整个横截面上有许多这样的微内力。微面积上的微内力σdA对z轴之矩的总和，组成了截面上的弯矩 则 式中称为横截面对中性轴的惯性矩，是截面图形的几何性质，仅与截面形状和尺寸有关。　　上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。应用时M及y均可用绝对值代入，至于所求点的正应力是拉应力还是压应力，可根据梁的变形情况，由纤维的伸缩来确定，即以中性轴为界，梁变形后靠凸的一侧受拉应力，靠凹的一侧受压应力。也可根据弯矩的正负来判断，当弯矩为正时，中性轴以下部分受拉应力，以上部分受压应力，弯矩为负时，则相反。 　　横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。即 令 则WZ称为抗弯截面模量，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状和尺寸有关　　弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的。对于一般的梁来说，横截面上除弯矩外还有剪力存在，这样的弯曲称为剪切弯曲。在剪切弯曲时，横截面将发生翘曲，平截面假设不再成立。但较精确的分析证明，对于跨度l与截面高度h之比 l/h5的梁，计算其正应力所得结果误差很小。在工程上常用的梁，其跨高比远大于5，因此，计算式可足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况。-2 常用截面二次矩 平行移轴公式 一、常用截面二次矩： 1、矩形截面： 2、圆形截面与圆环形截面： ①圆形截面： IZ＝Πd4/64 WZ＝Πd3/32 ②圆环形截面： IZ＝Π（D4－d4）/64 WZ＝Πd3{1-(d/D)4}/32 3、型钢的截面：查表，见附录。 二．组合截面二次矩 平行移轴公式： 计算弯曲正应力时需要截面对中性轴的惯性矩，截面的中性轴又是截面的形心主轴。在截面上任一点K，取邻域dA，K点到z轴、y轴的距离分别为y、z，定义y2dA、z2dA为微元对z轴、y轴的惯性矩，分别记作： dIz=y2dA dIy=z2dA 上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩： 图所示的截面形心为C，面积为A，zc轴、yc轴通过截面形心C，现有不通过形心的z轴、y轴分别与zc轴、yc轴平行，两轴之间的距离分别为a、b，截面对z轴、zc轴以及对y轴、yc轴的惯性矩有以下关系： IZ=IZc+a2A IY=IYc+b2A 上式称为惯性矩的平行移轴公式，即截面对任一轴z的惯性矩等于该截面对过形心而平行于z轴的zc轴的惯性矩加上两轴之间的距离的平方与截面面积的乘积 见教材P146例题8.1。 §8-3 弯曲正应力强度计算 为保证梁安全地工作，危险点处的正应力必须小于梁的弯曲许用应力[σ]，这是梁的正应力强度条件。对于塑性材料，其抗拉和抗压强度相同，宜选用中性轴为截面对称轴的梁，其正应力强度条件为： 对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，宜选用中性轴不是截面对称轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立强度条件： 对于中性轴不是截面的对称梁，其最大拉应力值与最大压应力值不相等。如图所示的T形截面梁，最大拉应力和最大压应力分别为： 强度条件三类问题①