平面的性质和直线的位置关系.doc

平面的性质与直线的位置关系 【考点导读】 1．掌握平面的基本性质，能够画出空间两条直线的各种位置关系，能够根据图形想象它们之间的位置关系。 2．掌握两条直线之间的平行与垂直的有关问题，并能进行解决和证明相关问题。 3．理解反证法证明的思路，会用反证法进行相关问题的证明。 【基础练习】 1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是 （1）∵，∴． （2）∵，∴． （3）∵，∴． （4）∵，∴． 2．下列推断中，错误的是 （4） 。 （1） （2），A,B,C不共线重合 （3） （4） 3．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ） （4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×[来源:学科网ZXXK]的棱的中点，则过点E与直线和都相交的直线的条数是： 1 条 5．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60o角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ③④ 。 6．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A?a，D?a，B?b，E?c[来源:学§科§网]BD和AE是异面直线 证明：假设__ 共面于?，则点A、E、B、D都在平面_ _内 ?A?a，D?a，∴__?γ. ?P?a，∴P?__. ?P?b，B?b，P?c，E?c ∴_ _??， __??，这与____矛盾 ∴BD、AE__________ 答案：假设BD、AE共面于?，则点A、E、B、D都在平面 ? 内。 ∵A?a，D?a，∴ a ??. ∵P?a，P? ? .[来源:学科网ZXXK]P?b，B?b，P?c，E?c. ∴ b ??，c ??，这与a、b、c不共面矛盾 ∴BD、AE是异面直线翰林[来源:学科网]，从平面外一点引向量 ， （1）求证：四点共面； （2）平面平面． 分析 ：证明四点共面可以采用平面向量中的平面向量基本定理证明， 也可以转化为直线共面的条件即几何证法。 解：法一：（1）∵四边形是平行四边形，∴，[来源:Zxxk.Com]，[来源:学科网ZXXK] ∴共面； （2）∵，又∵， ∴ 所以，平面平面． 法二：（1） ∴ ∴ 同理 又 ∴ ∴共面； （2）由（1）知：，从而可证 同理可证，所以，平面平面． 点评：熟练掌握定理是证明的关键，要学会灵活运用。 例2．已知空间四边形ABCD. (1)求证：对角线AC与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状; (3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇 分析：证明两条直线异面通常采用反证法。 证明：(1)（反证法）假设AC与BD不是异面直线，则AC与BD共面， 所以A、B、C、D四点共面[来源:学科网ZXXK] (2)解：∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF=AC. 同理HG//AC,且HG=AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形. 又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形. (3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求. 点评：在空间四边形中我们通常会遇到上述类似的问题，取中点往往是很有效的方法，特别是遇到等腰三角形的时候。 例3．如图，已知E，F分别是正方体的棱和棱上的点，且，求证：四边形是平行四边形 简证：由可以证得≌ 所以 又可以由正方体的性质证明 所以四边形是平行四边形 变式题：如图，已知、分别是正方体的棱和棱的中点． （Ⅰ）试判断四边形的形状； （Ⅱ）求证：平面平面． 解（Ⅰ）如图，取的中点，连结、． ∵、分别是和的中点， ∴， 在正方体中，有，　∴， ∴四边形是平行四边形，∴． 又、分别是、的中点，∴，∴四边形为平行四边形， ∴．故．∴四边形是平行四边形． 又≌，∴，故四边形为菱形． （Ⅱ）连结、、． ∵四边形为菱形，∴． 在正方体中，有， ∴平面．又平面，∴． 又，∴平面． 又平面，故平面平面[来源:学科网]，且是垂足，试判断直线与